За да се приложи горната теорема за стабилност, трябва да бъде по някакъв начин да се намери или изграждане на Ляпунов функция V.
N.G.Chetaev предложен метод за конструиране Lyapunov функция V под формата на пакети от интеграли на уравненията на движение.
Определение 3.6. Функция V = V (х) се нарича първите интегрални уравнения на движение (3.5.1)
ако общото време производно на функция V (х), получено по силата на тези уравнения,
е идентично нула, т.е.
V | (1.18) = DV / DT | 1.18 = ∂V / ∂x1 DX1 / DT + ... + ∂V / ∂xN DXN /dt|1.18 = ∂V / ∂x1 F1 + ... + ∂V / ∂xN FN ≡ 0 (3.8)
От израза (3.8) следва, че V = V (х1 ..., хп.) | (3.5.1) = конст.
Примери за интегрални уравнения на движение намерени с помощта на механика теореми
1. Ако механичната система са само консервативни сили, а след това общата енергия на системата се поддържа на всички по време на шофиране. В този случай не е неразделна общата енергия
М + Н = п = конст. (3.9)
2. Ако сили, действащи върху механичната система, не дават момент по отношение на фиксирана права линия (означен с оста х), след това проекцията на инерцията на системата (или ъглов момент) G = Σ [RK. МК VK] (m - маса на к-ти точката на системата; RK, VK
- вектора радиус и скоростта на к-ти точката на системата) на тази линия се поддържа. В този случай, ние имаме неразделна проекция на ъглов момент на оста х:
Gx = конст. (3.10)
3. Ако силите, които действат на механичната система, не дават миг по отношение на който и да е фиксирана линия (например, при липса на сили), а след това на ъглов момент вектор G се съхранява. В този случай, ние имаме неразделна ъглов момент вектор G = конст.
В скаларна форма на това неразделна понякога е удобно да се пише като U = G 2 = конст. (3.11)
4. Ако сили, действащи върху механичната система, не дават издатък на всяка фиксирана линия (означен с оста х), след това проекцията на инерция Qx = система mvcx (m - маса на цялата система, VCX - проекцията на центъра на тежестта на скоростта на оста х система) по тази линия се запазва. В този случай, ние имаме неразделна проекция на инерция mvcx = конст.
Човек може да пише и на други системи интеграли на уравнения на движение (виж конкретни примери по-долу).
Ако системата уравнения на движение са един независим от времето интеграл от първия пример, неразделна част от общата енергия (3.9)
U = T + R = конст, (3.12)
е да се изследва стабилността на невъзмутимо движение х = 0, може да се избере функцията Lyapunov под формата
V = U (х) - U (0) = конст (3.13)
Ако функцията за Ляпунов ще отговаря на изискванията на теоремата на Ляпунов върху стабилността на невъзмутим движението х = 0 е стабилен по отношение на променливи x1. ..., Xn.
Ако системата уравнения на движение са малко зависими от времето на първите интеграли
U1 (х) = C1 = конст, U2 (х) = с2 = конст, .... Великобритания (х) = СК = конст, (3.14)
където х = (х1. ..., хп) Т. е функция Lyapunov може да бъде конструиран като сума от първите интеграли (3.14).
Означаваме интегрална стойност (3,14) за невъзмутимо движение х = 0, както следва:
U1 (0) = 10 = конст, U2 (0) = C20 = конст, .... Великобритания (0) = ck0 = конст. (3.15)
Свързани статии