Обикновено диференциално уравнение се нарича уравнението на формата
М (х, у) DX + N (х, у) ди = 0)
остави част, която е общата разлика от някои функция
U (х, у), т.е. Du (х, у) = М (х, у) DX + N (х, у) ди.
Припомнете си, че общата разлика на функцията U е дадено от
Тест състояние уравнение за съответствие с общата разлика е дадено от
(1)
обобщение Уравнение за DR общо диференциали
В някои случаи, зависимостта
М (х, у) DX + N (х, у) ди = 0
не е обикновено диференциално уравнение, не условие (1). Въпреки това, има функция на "MU" е, че ако го умножете оригиналния уравнение получаваме обикновената диференциално уравнение.
А необходимо и достатъчно условие за това е, равенството между частичен
функция "Mu" се нарича интегриращ фактор.
Така освен контролират относителните функции U (х, у) на практика са за решаване на диференциално уравнение в частични производни по отношение на интегриращ фактор.
Но все пак остава въпросът, как да се намери обединяващ фактор?
Как да се намери обединяващ фактор?
На теория, конвенционални техники са разработени и трябва да се потърси интегриращ фактор под формата
където "омега" - позната функция на една или две променливи.
В този случай, ние се
След заместване на състоянието получи общия разлика
Отделете променливите на последния ред
Интегриране и определяне на константата на интеграция да бъде нула находка интегриращ фактор
Помислете за специални случаи.
1) Нека "Омега" е равно на аргумента. След това, някои частични производни равно на нула, и интегриране фактор са по формулата
2) Ако "омега" гладка формула за изчисляване на у интегриране фактор е от формата
3) В случаите, когато на "Омега" е сборът от квадратите на разликите или променливи интегриращ фактор намери по формулата
4) И когато имаме вариант продукт променливи дава следната зависимост за определяне на мю
Определяне на формула интегриращ фактор, без на практика няма да научат нищо, така че ние ще обсъдим въпроса за контрола на работата, на която ще видите същността на всички по-горе формули. Примери зададен Националния университет Лвов. Франко.
Обикновено диференциално уравнение. Коши проблем.
Пример 1 За решаване на диференциално уравнение и проблема Cauchy
Решение: Пишем коефициентите на диференциалите
и се извършва проверка, дали общата разлика на функция на две променливи състояние
Както можете да видите, от лявата страна на уравнението не е пълна диференциал (условието не е изпълнено). Ще проверим дали диференциал множител позволява uravnenieintegriruyuschy
От дясната страна се вижда, че това уравнение позволява интеграция фактор, а това зависи само от ш.
Намираме интегриращ фактор на диференциално уравнение с разделени променливи
След умножаване на всички условия, установени в интегриращ фактор "мю" (), ние получаваме първата поръчка DN
Ако контролната повторна проверка, сега състоянието на общата разлика на функция се изпълнява
На следващо място, в резултат на контрола ще реши, в случай на конвенционален пълен диференциал. Ние интегрираме втория мандат на ш
Не забравяйте правилото - ако интеграцията продължава ш, стоманата зависи от "Х". и обратно.
Стомана, която влиза в уравнението определя чрез изчисляване на частично производно на намерено разтвор "X" и се равнява на фактор за контрол, когато DX.
Следователно, ние се намери постоянна
Като се има предвид изложеното по-горе, пишем общия интеграл на диференциалното уравнение
Задачата трябва да бъде да се намери частично решение (Коши проблем). За да направите това, запишете на допълнително условие за функцията и определи стомана
Следователно имаме частично решение на диференциално уравнение
Тя е все още написани на неявна форма, но ние можем да намерим зависимостта на функцията на променливата у (х) в този случай:
- частично решение на диференциално уравнение.
Пример 2. Намерете решение на задачата на Коши
Решение: Напишете предварително зададен първи ред диференциално уравнение в диференциалите
На следващо място, ние проверяваме дали общият разлика имаме, пишем факторите
и ние откриваме частични производни на
Състоянието на общата разлика не се извършва.
Ние се провери това уравнение не позволява на интегриращ фактор
Виждаме, че това уравнение позволява интегриране на фактор, който зависи само от ш. Ние го намерите чрез интегриране на уравнението
След умножаване всички условия намерени в интегриране фактор на оригиналното дистанционно управление се превръща в
което съответства на обикновено диференциално уравнение
Как да се реши това уравнение, което вече знаете, така че преходът към интеграцията за лесно втората dodanka (близо DX)
За да се определи времето - търси частична производна на ф на "Х" и се равняват на втория фактор в общата разлика
Този път е функция не е постоянна и гладка, за да го инсталирате трябва да намерите няколко интеграли
Общият интеграл на диференциално уравнение с С (х) става заместване на
Нека да решим проблема Коши за контрол
Следователно имаме
- частично решение на диференциално уравнение.
Пример 3. Виж решението на уравнение условие Cauchy
Решение: Ние пренапише контрол, които са боядисани деривативни диференциали
След това действа съгласно метода за такива уравнения.
Пишем множители близо диференциали
Ние се провери състоянието на общата диференциална функция
Състоянието не е доволен. Проверете, за да видите дали интегриране фактор позволява това уравнение?
Както можете да видите от дясната страна зависи от у така че уравнението признава, интегриращ фактор.
Ние го намерите от контрол
След умножаване всички условия на уравнението на интегриращ фактор "мю" получаваме следното уравнение
Състоянието се потвърждава от общата разлика
().
На следващо място, ние прилагаме техниката за контрол на общата диференциал. С интегрирането на първия срок на уравнението намираме U (у)
След това се изчислява частични производни на U (х, у) на "X"
и сравнение с първоначалната частично производно на уравнение
Това е лесно да се намери тук постоянно
Ние се върна и да напишете цяло интеграл от диференциалното уравнение
Чрез хипотеза, че е необходимо да се намери частично решение на уравнение (решаване на проблема Коши). За etogoopredelyaem стойност на функцията в точката
Константата е равно на 2, и частично контролен разтвор
За по-голяма яснота, ние намерите отговор (обратна) функция х (у).
- частичен разтвор на
Красива отговор въпреки много промени и интеграли.
От тези отговори получихте полезен за изчисляване инструкции. За да тествате знанията, придобити независимо решен уравнението с помощта на интегриращ фактор
Останете на линия, все още има много готови примери на диференциални уравнения.
диференциални уравнения
Свързани статии