[Наляво P \ наляво (\ дясно) DX + Q \ (\ дясно) ди = 0, \] Да разгледаме диференциално уравнение на формуляра \ където ляво \ (Р \ наляво (\ дясно) \) и \ (Q \ (\ дясно) \) - функция на две променливи \ (х \) и \ (у, \) в непрекъснат регион \ (D. \) Ако \ [\ Frac >> \ пе \ Frac >> \] уравнение е уравнение няма да общо диференциал. Въпреки това, можем да се опитаме да вземем т.нар интегриране фактор. който е функция \ (\ ц \ наляво (\ полето), \), така че, когато се умножава по своята диференциално уравнение се трансформира в обикновената диференциално уравнение. В този случай, равенството: \ [. \ Фрак \ дясно)> \ вдясно) >>> = \ Фрак \ дясно)> \ вдясно) >>> \] Това състояние може да се запише като: \ [>> + \ мю \ Frac >> = P \ Frac >> + \ ц \ Frac >>,> \; \; >> - P \ Frac >> = \ ц \ оставени (>> - \ Frac >>> \ дясно)>. \] Този израз означава частично диференциално уравнение на първия ред, който определя интегриране фактор \ (\ ц \ наляво (\ дясно). \)
За съжаление, не съществува общ метод за намиране на интегриращ фактор. Въпреки това, ние можем да споменем няколко специални случаи, за които ние можем да решим полученото частно диференциално уравнение и, като резултат, за да се определи интегриращ фактор.
1. интегриране фактор е зависима от променливата на \ (х: \) \ (\ ц = \ ц \ наляво (х \ дясно) \).
В този случай ние сме \ (\ голям \ Фрак >> \ normalsize = 0, \), така че уравнението за \ (\ ц \ ляво (\ вдясно) \) може да се запише като: \ [\ Фрак \ Фрак >> = \ Frac \ наляво (>> - \ Frac >>> \ дясно). (. х \) \] дясната страна на това уравнение трябва да бъде само функция на \ функция \ на (\ ц \ наляво (х \ дясно) \) може да се намери, интегриране на последното уравнение.
2. интегриране фактор е зависима от променливата на \ (у: \) \ (\ ц = \ ц \ наляво (у \ дясно) \).
По същия начин, ако \ (\ голям \ Frac >> \ normalsize = 0, \), ние се получи обикновено диференциално уравнение за определяне на интегриране фактор \ (\ ц: \) \ [\ Frac \ Frac >> = - \ Frac\ Наляво (>> - \ Frac >>> \ дясно), \], където дясната ръка зависи само от \ функция \ (\ ц \ наляво (у \ дясно) \) е интеграция на уравнението (Y \.).
3. интегриране фактор зависи от конкретна комбинация от променливи \ (х \) и \ (у: \) \ (\ ц = \ ц \ наляво (\ дясно)> \ дясно) \).
Новата функция \ (\ дясно)> \) може да бъде, например, тип: \ [Z = \ Frac, \; \; \; Z = XY, \; \; \; Z = +, \; \; \; Z = х + у, \] и така нататък.
Важно е, че интегрирането на фактор \ (\ ц \ наляво (\ дясно) \) ще бъде функция на една променлива \ (Z: \) \ [\ ц \ наляво (\ дясно) = \ ц \ наляво (Z \ дясно) \] и може да се намери от диференциално уравнение: \ [\ Frac \ Frac >> = \ Frac >> - \ Frac >>>>>> - P \ Frac >>>> \] се приема, че дясната страна на уравнението зависи. само на \ (Z \) и знаменателят не е нула.
По-долу ще опишем някои примери уравнение \ [P \ наляво (\ дясно) наляво DX + Q \ (\ дясно) ди = 0, \], за които може да се намери интегриране фактор. Общи условия за съществуването на интегриращ фактор се появяват в теорията на Лъжата групи.
Свързани статии