6) (A + B) = A + B
8) на (+) = A + A
По този начин, на набор от геометрични вектори (вектори определени права, самолет или пространство), определена от две операции - събиране и умножение с номер, който се нарича линейни операции. и тези операции имат редица свойства.
Има примери, както и други комплекти (набор от реални числа, множеството от комплексни числа, множеството от матрици на едно и също измерение, и т.н.), на която се въвежда също така линейни операции. Въпреки, че тези операции на всеки набор, свойствата на тези операции се определят от минута, с техните свойства 1) - 6) линейни операции на геометрични вектори. Поради това, естествено е необходимо да се проучи множество елементи от всякакъв вид, в който са дефинирани линейните операции. Освен това, операцията може да се определи по всякакъв начин, дори и само да има определен набор от качества. Тези комплекти от математиката наричат линейни пространства. Основните положения на теорията на линейните пространства играят важна роля в изследването на много области на математиката, механиката и физиката.
По този начин, множество налични геометрични форми линеен вектор пространство. равнина пространство вектор означен V 2. множество триизмерното пространство на вектори означени V 3. пространство вектори са разположени на една права линия (или успоредна на същата права линия), определени V 1.
Доказано е, че във всеки линеен пространство има набор от елементи А1. А2. ..., на> че всеки елемент х на пространството може да бъде еднозначно представени като сума от елементи на населението, в комбинация с някои числени коефициенти
(В този случай казваме "х представени като линейна комбинация от вектори А1, А2, ..., ап .."). Този набор от елементи, се нарича основа на линеен пространство, както и на броя на елементите в този определен тримерно пространство.
Основа пространство V 1 форми всеки ненулев вектор.
Основа пространство V 2 форма всеки две noncollinear вектори.
Основа пространство V 3 съдържа всеки три не-копланарни вектор.
Доказателство. Както бе споменато по-горе, ако комплекта 1. 2. ..., к. вектори на линеен пространство е основа, на "вектор, равенството
където би - някои цифри.
1) разглежда произволно ненулев вектор Î V 1. Тъй като всички вектори: 1, лежат на една линия, те са колинеарни, следователно, за всеки вектор " Î V 1 може да бъде записана. Това означава форми основа вектор V 1.
2) Да разгледаме две произволни noncollinear вектори и `i`b ÎV 2. Ние твърдим, че "a` Î2 х V $. при Î R 2, така че.
Да разгледаме произволен вектор с ` ÎV 2. Да предположим, например, (фиг. 6). Чрез точка С се направи линия, успоредна на вектор `б. и през точка D - Директна паралелно vektoru`a. Тогава векторът е успоредни и на `средните = х. и вектор, успоредна на вектора U = Y. Ето защо, на триъгълника, ние получаваме
QED.
Част 3), за да се докажеш.
Равенство нарича вектор разлагане с най bazisua `,` б>, х и у са коефициентите на това разлагане vektora`s наречени координатите в основата на, `б>,` с Запишете = (х. Y) е координира вектор форма `S.
Ако `а,` б. `С - некопланарни вектори, които формират основата за пространство V 3. Следователно" `г ÎV 3 до експанзия на основа, `б. `S> има формата
Набор от числа (х. Y) или (х. Y. Z) са, в действителност, дължината на матрични линии 2 и 3 *). Ето защо, операции на вектори в координатна форма се извършват в съответствие с правилата на операции с матрици.
Така че, ако векторите са колинеарни, техните координати са пропорционални.
И обратното, ако координатите на двата вектора са пропорционални, ние имаме:
което означава, че векторите са колинеарни.
По този начин, ние доказахме, че в продължение на два вектора са колинеарни, ако и само ако техните координати са пропорционални.
Помислете произволен ред л и неговата единица вектор е ". Това води до единица вектор на л семейството на линия на вектори лежат по тази линия :. За л> 0 и `` напр. при л <0 `а `е. значит, орт`е определяет на прямой l два противоположных направления.
Линията на която избраната посока се нарича ос. и единица вектор определянето тази област, наречена единица вектор на оста си. Посока, с посоката на единичен вектор codirectional на, наречена положителен. обратна посока - отрицателна. Orth също определя оста на скалата и еталонната точка (точка на прилагане). Проекцията на вектора на гръбначния стълб е проекция вектор върху единичен вектор на оста:
Ако е избрана пространство V 3 точка G и произволна база <> започваща от точката G, четиримата нарече рапъра. Те казват, че V 3 се определя декартова координатна система (афинна координатна система), ако е зададено в рамка и всеки кадър се свързва векторни ос, посочена ос на координатната. Първият от тези оси, съответстваща на Е1 вектор. Това се нарича оста х, а вторият - оста у, а третият - за Z-оста. Обърнете се към координатната система обикновено OHUZ. След това всяка точка на М-тримерното пространство се определя триплет на номера М (х Ш Щ ..) - координатите на вектора (радиус вектор на тази точка) в основата <>.
По същия начин, ще се въведе концепцията на координатната система в равнината.
Означаваме `аз. `J. `К - взаимно перпендикулярни вектори единица :. `` I ^ й ^ `к. Очевидно е, че тези вектори образуват на базата на V 3. А база се нарича ортонормален. Декартова координатна система, генерирани от рапъра аз. `J. `K>, наречен Декартова координатна система. По този начин:
Декартова координатна система, в триизмерното пространство, е набор от
- На една точка, наречена произхода;
В бъдеще ние ще разгледаме декартовата координатна система (Ducs).
Системата за Декартова координатна координати на вектора = (.. Hvostov AY AZ) съответно е равна проекциите на вектора на ос на координатната ос =, AY =. Я =.
базисни вектори `аз. `J. `К в Ducs имат координати
Помислете произволен вектор ÎV 3. ъгли, че този вектор прави с координатните оси (или основна единица вектори `` i.` J. К) означават =. б =. г = (Фиг.7). Уюта на тези ъгли коза, cosb, cosg наричат посока уюта на вектора. уюта посока са собственост на даден вектор
защото A + защото 2 2 2 б + защото г = 1.
Те характеризират посоката на вектора по отношение на Ducs.
Всяка точка М равнина (пространство) в избраните Ducs да свържем му радиус вектор. Координатите на точка координатите Ducs нарича радиус вектор.
... Ако знаете координатите на точките А (.. XA Ya ZA) и B ((ХЬ UB ZB) - началото и края на векторни координатите на този вектор на може да се намери от правилото "векторни координатите на крайната Изваждане съответстващ стартова позиция":
Лекция 9. размножаването на вектори. приложения
Скаларни продукт и неговите свойства, приложения.
Свързани статии