Както бе споменато по-горе, на базата на този вектор пространство може да се въведат различни начини. В тази връзка, има естествена задача да опише връзката между базите.
Докаже, че размера на пространството за вектор е независим от избора на основа (т.е., всяка основа, който съдържа същия брой вектори).
Нека вектор пространство \ (\ mathit \) да служат за база \ (e_1, e_2. E_n \) и \ (f_1, f_2. \ F_n). Всяка втора основа вектор може да се изрази чрез първи вектор на основата, така че \ [f_1 = c_e_1 + c_e_2 +. + C_e_n \ четири \ четири (41) \] \ [f_2 = c_e_1 + c_e_2 +. + C_e_n \ четири \ четири (42) \] \ [. \] \ [F_n = c_e_1 + c_e_2 +. + C_e_n \ четири \ четири (43) \]
или \ [f_k = \ sum_ ^ nc_e_m, к = 1,2. п. \ Quad \ четири (44) \]
Определение. Матрицата \ [C = \ наляво (\ започне C_ C_ C_ \ ldots C_ \\ C_ C_ C_ \ ldots C_ \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ Vdots \\ C_ C_ C_ \ ldots C_ \ край \ вдясно). \], Чиито елементи са въведени съгласно (41) - (43), се нарича промяна на база матрица \ (\\) въз основа \ (\\).
По същия начин, може да се изрази вектор на база \ (д \) чрез база вектор \ (\ е) на: \ [e_1 = b_f_1 + b_f_2 +. + B_f_n \ четири \ четири (45) \] \ [e_2 = b_f_1 + b_f_2 +. + B_f_n \ четири \ четири (46) \] \ [. \] \ [E_n = b_f_1 + b_f_2 +. + B_f_n \ четири \ четири (47) \] или [\ e_s = \ sum_ ^ nb_f_k, S = 1,2. п. \] Съответно, съществува матрица \ (B \): \ [B = \ наляво (\ започне b_ b_ b_ \ ldots b_ \\ b_ b_ b_ \ ldots b_ \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ Vdots \\ b_ b_ b_ \ ldots b_ \ край \ вдясно). \]
Теорема. Матрицата за преход от основа на базата на не-дегенеративен.
Заместването (41) - (43) (45) - (47), ние получаваме: \ [e_s = \ sum_ ^ nb_ \ наляво (\ сума _ ^ nc_e_m \ дясно). \]
В последния израз два крайни суми. За крайните суми, в съответствие с правилата на обичайното аритметика, че е възможно да промените реда на сумиране. Осъзнавайки това, ние получаваме: \ [e_s = \ sum_ ^ nb_ \ ляво (\ сума _ ^ nc_e_m \ вдясно) = \ sum_ ^ ne_m \ ляво (\ сума _ ^ nc_ b_ \ вдясно). \]
Сравняване на изразите отляво и отдясно, използвайки вектор координира уникалност (t.e.koeffitsientov в \ (e_m \) в лявата и дясната страна), ние получаваме: \ [\ сума _ ^ nc_ б _ = \ делта _ \ четири \ четири ( 48) \], където \ (\ б \) - Kronecker символ определя съгласно зависимостта: \ (\ делта _ = 0 \), ако \ (т \ НЕК S \) \ (\ делта _ = 1 \), ако \ (т = S \). От лявата страна на връзка (48) е лесно да се идентифицират матрица умножение матрици \ (С ^ Т \) и \ (B ^ Т \). От дясната страна са елементи от матрицата на идентичност \ на (Е \), която има единици по диагонала, а останалата част от неговите елементи са равни на нула. По този начин, ние имаме равенство: \ транспониране на настоящото уравнение, ние откриваме, [C ^ TB ^ T = Е \ четири \ четири (49) \.]: \ (BC = Е \). Според свойства детерминанти, имаме: \ [Det (В) Det (C) = Det (Е) = 1. \] Така матрица \ (B \) \ (С \) нон-дегенеративен и са обратен един към друг.
1. докаже, че всеки от двата посочени вектори системи е основа. Намерете матрицата на преход от една система към друга. \ [A_1 = (1,2,1), \ четири a_2 = (2,3,3), \ четири a_3 = (3,8,2), \] \ [b_1 = (3,5,8), \ четири b_2 = (5,14,13), \ четири b_3 = (1,9,2). \]
2. Как ще преход матрицата от една база в друга, ако сменяте двата вектора на втората база?
Свързани статии