Ако избран интерполация полином Lagrange с еднакво разстояние интерполация точки, числовите формули, получени интерполиране наречени Нютон квадратни формули - Cotes.
Така че, ние имаме формула за числено интегриране
Формула (3) ще бъде затворен с формула, ако краищата на интервала на интеграция и възли интерполация са отворен тип, когато поне един от краищата не е интерполация възел.
Напишете Lagrange полином в обобщен вид
не зависят от функцията, но само по точки от интерполация. Ще разгледаме равноотдалечени възли към стъпка часа.
Lagrange полином за равноотдалечени точки има следния вид:
За да се получи най-накрая коефициенти:
Коефициентите (4) е Кот коефициенти. Те може да се разчита на различни m.
Нека п = 1. 2 има възел и коефициент Cotes интерполация и две.
Когато п = 2 имаме три възли Кот коефициент.
3.chastnye случаи на числено интегриране.
1) Формула средни правоъгълници.
Подинтегрален замени Lagrange интерполация полином от степен нула
п = 0, имаме една интерполация възел, нека
чрез интерполиране състояние
Формула (5) е формулата на средните правоъгълници.
Геометричната смисъла се крие във факта, че районът на криволинеен трапец се заменя с областта на правоъгълник.
Точност трапецовидна правило.
Когато п = 1, - остатъка от формула Лагранж.
Теорема: Ако е (х) функция има непрекъснати производни до втори ред, интервалът, грешката
Както и в предишния случай, при прилагане на формулата Тейлър, и с помощта на средна стойност теорема, интеграл, получаваме:
Ако, тогава ние се получи оценка на грешката на метода:
3) формула параболи на (Simpson).
Подинтегрален замени Lagrange интерполация полином от втора степен
, имаме три възела на интерполация. Ние избираме,
Възли равноотстоящи етап. В момента има три коефициенти Кот
Според формулата на Нютон - Кот имаме:
Формула (9) е параболи формула (Simpson).
Геометрични значение е, че графиката на графиката се заменя със Lagrange полином от втора степен (параболичен) на сегмента. При изчисляване на интеграла с формула (9), неговата цифрова стойност е равна на площта на кривата трапец, ограничена от горната дъгата на параболата преминаваща през точките
Точност на формула параболи.
Теорема: Ако функция има непрекъснат производно на интервала до четвъртия ред, тогава формула параболи грешка може да бъде изчислена по формулата:
Ако, тогава ние се получи оценка на грешката на метода:
За да се увеличи точността на изчисляване на интеграл се използва следната техника: интервал на интеграция е разделена на достатъчно голям брой на трептене интервали и всеки от частични сегменти прилага квадратура Newton формула - Cotes ниско п. Готови формула проста структура, които се наричат общи формули.
5. общата формула за числено интегриране.
1) общата формула средни правоъгълници.
Ние разделяме интервала на интегриране в п равни части, получаваме сегменти
стъпка интеграция. Всяка част от сегмент се прилагат по-рано получи елементарни средни правоъгълници формулата и да добавите до резултатите по този начин ще имаме обобщените средните формулата правоъгълници.
Ако за интерполация възел на всеки частичен интервал, за да вземе левия край, получаваме, и
- общата формула наляво правоъгълници (11а)
Ако избора на правилните компоненти за края, и
- правилните правоъгълници обща формула (11в)
Грешката на общата формула на средните правоъгълници.
Всеки частичен сегмент допустима грешка изчислява по формула (6), имаме п частични сегменти. Добавянето на грешките, ние имаме:
Удвояването на броя на разделителните точки, грешката намалява до 4 пъти.
- горната граница на втората производна на сегмента.
2) общата формула трапеци.
Сегментът на интеграция е разделена на п равни части от точките, получаваме етапа на интеграция.
Всяка част от сегмент е приложима елементарни правило трапецовидна и получените суми резултати.
Това е обобщена формула за трапеци.
Точност генерализирана трапецовидна правило.
МРЕ се изчислява по формула (10) във всеки частичен интервал, след това за целия интервал получи
Удвояването на броя на разделителните точки, грешката намалява до 4 пъти.
3) общата формула параболи.
Точността на приблизителна интеграция увеличава значително, ако подинтегрален във всяка част от сегмент заменен с квадратна функция. Ние разделяме интервала на интегриране в п равно на части, а след това всеки получен сегмент все още се делят на две. Като цяло, ние получихме четен брой на 2n интервали. Ние прилага с формула (9) на всяка двойка от съседни преградни сегменти.
Обобщавайки равенството, ние се получи обща формула за параболата:
Точност общата формула параболи.
Всяка двойка съседни сегменти на грешката изчислени с формула (10), имаме п двойки, тогава
На практика, ако проблемът е решен с помощта на компютъра, грешката се изчислява по формулата на практическа оценка на грешката на базата на два пъти Jeopardy.
- определен неразделна стойност, изчислена чрез разделяне в п (п - дори).
- определен интеграл стойност, изчислена в разделението на 2n парчета.
Свързани статии