1 Имоти и структура на алгоритъма
1.1 Общо описание на алгоритъма
Проблемът на едномерна числено интегриране е приблизителният изчисляване на определен интеграл по сегмент: това е необходимо да се изчисли
където [математика] е (х) [/ математика] - интегрируеми функция, определена на интервал [математика] [а, Ь] [/ математика].
Числено интегриране ocuschestvlyaetsya използване квадратура формули - приблизителни уравнения на формата
[Math] аз \ приблизително \ сума \ limits_ ^ п C_i е (x_i). [/ Math]
Сумата от дясната страна се нарича квадратура сума; различни точки [математика] x_i [/ математика] интервал [математика] [а, Ь] [/ математика] наречените възли, и брой [математика] C_i [/ математика] - коефициенти квадратура формула.
Значение квадратура суми, получени приблизителна стойност на интеграл зависи от избора на възел [математика] x_i [/ математика] и коефициенти [математика] C_i [/ математика]. При изчисляване на стойността на квадратура сумата от основните разходи време предвид при изчисляването на подинтегрален стойности на възлите.
Площ формула грешка е разликата
Ако функция [математика] е (х) [/ математика], така че [математика] R_n (е) = 0 [/ математика]. след това да кажем, че точната формула за F квадратура функция [математика] (х) [/ математика].
Цяло число [математика] к \ ge0 [/ математика] наречен алгебрични точност квадратура формула, ако формула квадратура е точно за всеки полином от степен на [математика] К [/ математика] и не изискваш за полином от степен [математика] к + 1 [ / математика].
Ако квадратура формула [математика] п [/ математика] възли има алгебрични степен на точност [математика] К [/ математика]. на [математика] к \ ле 2п-1 [/ математика].
Широко известни квадратурни формули, получени чрез промяна на подинтегрален [математика] е (х) [/ математика] алгебрични интерполация полином чиито стойности съвпадат със стойностите на функциите в [математика] н [/ математика] възли [математика] x_i [/ математически]; такива квадратурни формули се наричат интерполация. За грешката интерполиране оценката на формулата квадратура
където [математика] M_n = макс \ limits_ \ | е ^ (х) | [/ математика]. [Math] \ omega_n (х) = \ про \ limits_ ^ п (х-x_i) [/ математика].
Ако квадратура интерполация формула с [математика] п [/ математически] възли има алгебрични степен на точност [математика] К [/ математика]. на [математика] к \ GE N-1 [/ математика].
1.1.1 Newton-Cotes
На Newton-Cotes наречен интерполация квадратура формула [математика] п [/ математика] която възли са определени еднакво разстояние: [математика] x_1 = \ frac2 [/ математика] в [математика] п = 1 [/ математика] и [математика] x_i = а + (I-1) \ Frac, 1 \ ле аз \ ле н [/ математика] в \ GT1 [математика] п [/ математика].
Името на тези формули, получени в паметта на факта, че те са достатъчно обща форма се счита от Нютон, и техните коефициенти на [математика] 1 \ ле п \ ле 10 [/ математика] бяха намерени Roger Cotes.
Най-добре познати формули са Newton-Кот формула средни правоъгълници ([математика] п = 1 [/ математика])
и трапеци формула ([математика] п = 2 [/ математика])
алгебрични степен на точност на всеки един от тях е равно на 1, и за техните грешки следните прогнози
Newton-Кот формули с [математика] п = 3 [/ математика] и [математика] п = 4 [/ математика] формула Симпсън са
също по формула параболи и три осми с формула
чието име идва от коефициента 3/8; алгебрични степен на точност на всеки един от тях е 3, както и за оценка на грешките са валидни
Алгебрични степен на точност формула Cotes Нютон с [математика] п [/ математика] възли равнява [математика] N-1 [/ математика] дори [математика] п [/ математика] и равна [математика] п [/ математика] за нечетен [математика] п [/ математика].
Коефициентите на Newton-Кот формули са положителни за [математика] 1 \ ле п \ le8 [/ математика] и [математика] п = 10 [/ математика]. и когато [математика] п = 9 [/ математика] и [математика] п \ ge11 [/ математика] сред коефициенти са положителни и отрицателни.
Позитивност коефициенти квадратура формула от основно значение за неговото практическо приложение. Фактът, че при изчисляването на сумата неразделна грешки при закръгляването да повлияят върху точността на резултата от по-силен, толкова повече [математика] \ сумата \ limits_ ^ н | C_i | [/ математика]. За Кот формули, Newton, това количество се увеличава без свързания [математика] п \ да \ infty [/ математика]. Поради това, за по-голям [математически] п [/ математика] Кот формули, Нютон са практически неизползваема.
Така, за да се използват квадратурни формули с голям брой възли трябва да отхвърли или да квадратура формула се интерполация, или се изисква от равноотстоящи възли.
1.1.2 Композитни квадратурни формули
Компонентите се наричат квадратурни формули, конструкцията на която се извършва, както следва. Интеграция интервал [математика] [а, Ь] [/ математика] се разпределя в [математически] m [/ математика] сегменти с еднаква дължина [математика] Н = \ dfracm [/ математика]. След това, от имуществото на адитивност на интеграл може да бъде изчислена като сума от интегралите над интервалите на дяла. За се използва приблизително изчисляване на всеки термин на тази сума, същата квадратура формула, известен като оригинала.
Алгебрични степен на точност на компонента квадратура с формула съвпада с оригиналния алгебрични точност.
Ако началната квадратура формула формула изберете вторични правоъгълници, трапеци формула или формула на Симпсън, се получават следните съставни квадратурни формули:
компонент формула среден правоъгълник
[Math] аз \ приблизително ч \ (\ сума \ limits_ ^ т е (а + Ш-\ Frac)) [/ математика]с броя на възли [математика] m [/ математика] и оценка грешка
композитен правило трапецовидна
с броя на възли [математика] М + 1 [/ математика] и оценка грешка
Simpson композитен формула
[Math] аз \ приблизително \ Frac \, (е (а) + F (б) 2 \ сума \ limits_ ^ е (а + Н) 4 \ сума \ limits_ ^ МФ (А + Ш-\ Frac)) [/ математика]с броя на възли [математика] 2М + 1 [/ математика] и оценка грешка
1.1.3 Гаус квадратура формула
Както е отбелязано по-горе, ако квадратура формула [математика] п [/ математика] е интерполация възли, си алгебрични степен на точност не по-малко от [математика] N-1 [/ математика]; за всяко изграждане на интерполация възли на формула квадратура се осъществява чрез избиране на своята [математика] п [/ математика] коефициенти. Поради подбора [математика] п [/ математика] възли квадратура интерполация формула може да гарантира, че тя има по-висока евентуално алгебрични степен на точност, а именно [математика] 2п-1 [/ математика].
Проблемът за изграждане на квадратура формула разгледана Карл Фридрих Гаус; той доказа своята разрешимост.
А квадратура формула [математика] п [/ математика] възли алгебрични степен на точност, която е равна на [математика] 2п-1 [/ математика]. Той призова Gaussian квадратура формула или формула квадратура най-висока алгебрична степен на точност.
В случай [математика] интервала [- 1,1] [/ математика] Площ формула
[Math] \ Int \ limits_ ^ 1 е (т) \, DT \ приблизително \ сума \ limits_ ^ п c_i е (t_i) [/ математика]
е Gaussian квадратура формула ако и само ако това е интерполация, и неговите компоненти [математика] t_i [/ математика] са корените на полином Legendre
По-специално, когато [математика] п = 2 [/ математика] и [математика] п = 3 [/ математика] Гаус квадратурни формули за интервал [математика] [- 1,1] [/ математика] са както следва:
[Math] \ Int \ limits_ ^ 1 е (т) \, DT \ приблизително е \ оставя (- \ frac1 \ дясно) + F \ наляво (\ frac1 \ полето), [/ математика] [математика] \ Int \ limits_ ^ 1 е (т) \, DT \ приблизително \ frac59 \; е \ оставя (- \ SQRT \ дясно) + \ frac89 \; е (0) + \ frac59 \; е \ наляво (\ SQRT \ дясно) [. / математика]
За получаване на Gaussian квадратура формула за произволен интервал [математика] [а, Ь] [/ математика]. трябва да се направи промяна на променливата
в резултат на което
Използване на Gaussian квадратура формула за интервал [математика] [- 1,1] [/ математика]. получаване на Gaussian квадратура формула за интервал [математика] [а, Ь] [/ математика].
[Math] аз \ приблизително \ frac2 \ сума \ limits_ ^ п c_i е (x_i), [/ математика]
където [математика] x_i = 0.5 (A + B + (Ь-а) t_i) [/ математика]. [Math] t_i [/ математика] - Legendre полином корени [математика] P_n (т) [/ математика].
За грешката на Gaussian квадратура формула С. [математика] п [/ математика] възли оценката
Коефициентите на Gaussian квадратурни формули са положителни. Поради това, с помощта на Гаус квадратура формули с голям брой възли не води до усложнения, които възникват при използване на Кот формули, Нютон.
1.2 математическо описание на алгоритъма
Ако бъде избран квадратура формула, алгоритъмът на приблизителното изчисление на интеграла е да се изчислят сумите квадратура, т.е. при изчисляването на стойностите на [математически] К [/ математика] възли, умножаване им от съответните коефициенти и сумиране на номера получени.
Входове: функция [математика] е (х) [/ математика] и двумерен масив [математика] п [/] математика номера - масива на възли и набор от коефициенти.
Изчислено данни: номер, която е стойността на сумите, квадратура и представляващ приблизителна стойност на интеграл.
Свързани статии