Елементарен (прост) рационални фракции наречени рационални фракции от четири вида:

Коментари (желателно за по-пълно разбиране на текста): шоу \ скрий

Защо имаме нужда от условието $ р ^ 2-4q <0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q <0$ означает, что $D <0$. Если $D <0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Например, за експресията на $ х ^ 2 + 5x + 10 $ получаваме: $ р ^ 2-4q = 5 ^ 2-4 \ cdot $ 10 = -15. Тъй $ р ^ 2-4q = -15 <0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Между другото, за този тест не е необходимо, че коефициентът на $ х ^ 2 $ равно на 1. Например, за $ 5х ^ 2 + 7х-3 = 0 получаваме $: $ D = 7 ^ 2-4 \ cdot 5 \ cdot (-3) = 109 $. Тъй $ D> 0 $, след експресията $ 5х ^ 2 + 7x-3 $ е разгражда в фактори.

Примери на рационални фракции (правилни и неправилни), както и примери за разлагане в елементарна рационално фракция могат да бъдат намерени тук. Тук ние се интересуваме само от въпросите на интеграцията. Нека започнем с интеграцията на елементарните частици. По този начин, всеки един от четирите вида на елементарните частици по-горе, е лесно да се интегрират с помощта на формулата, посочена по-долу. Припомнете си, че когато интегриране фракции от тип (2) и (4) се приема, $ п = 2,3,4, \ ldots $. Формули (3) и (4) изисква състояние $ р ^ 2-4q <0$.

$, След получаване Interan разделен на две. Първият ще бъде изчислена чрез вмъкване на диференциално знак, а вторият ще бъде под формата $ I_n = \ вътр \ Фрак $. Това неделима е взето с помощта на рецидив връзка

Изчисляване на интеграла разглобен в Пример №7 (вж. Третата част).

Схема изчисляване интеграли на рационални функции (рационални фракции):

1. Ако подинтегрален елементарен фракция след това се прилага формули (1) - (4).
2. Ако подинтегрален фракция не е елементарно, след това се поставят в сума от елементарни фракции и след това се интегрира чрез използване на формули (1) - (4).

Рационалните фракции по-горе алгоритъм интеграция има предимство - той е универсален. Т.е. С помощта на този алгоритъм, можем да се включи един рационален дроб. Ето защо почти всички от смяната на променливи в неопределени интеграли (заместване на Ойлер, Chebyshev, универсален смяна тригонометрични) са направени с очакването, че след замяната от него, за да се получи един рационален фракция Interal. И тя трябва да се прилага алгоритъма. Директен прилагане на този алгоритъм Нека разгледаме примерите, след като една малка забележка.

Формули (1) - (4) се предполага, че коефициентът на $ х $ (във формулите (1) и (2)) и коефициента на $ х ^ 2 $ (във формули (3) и (4)) е равна на единица. Но какво, ако този фактор не е единство? В този случай, просто да го приведе към скобите: $ \ Фрак = \ Фрак \ дясно)> = \ fracx + \ Фрак >> $.

Между другото, това се отнася не само основни фракции. Например, ако искате да разширите фракция $ \ Фрак $, а след това може да се представи под формата:

В други примери, ще спомена един случай, когато коефициентът на водещия срока на полинома в знаменателя не е равно на $ 1 $. Но всеки път, когато това събитие ще бъде разрешено при стандартната схема: премахване на "неудобство" фактор от скобите и да го преместите в числителя (или дори да се вземат извън неразделна знака).

Нека да преминем към примерите. Първи пример - обучение за използване на формули интегриране на елементарни частици (все още без използването на формула №4, тя ще се разглежда отделно).

1) За да намерите неразделна $ \ вътр \ $ Frac можете веднага да се прилага формулата (1).

По принцип, това неразделна е лесно да се получи без механично прилагане на формула (1). Ако направите постоянни $ 7 $ на интегрална знак и имайте предвид, че $ DX = г (х + 9) $, получаваме:

За подробна информация, вижте темата предлагаме насочване "Интеграция чрез заместване (като диференциално знак)." Там ще бъде обяснено по-подробно как тези интеграли са решени. Между другото, с формула (1) може да се докаже от същите трансформации, които се прилагат в този момент в разтвора на "ръчно".

2) Отново, има два начина: да използват готови формула или без него. Ако приложим формулата (2). трябва да се отбележи, че коефициентът на $ х $ (номер 4), ще трябва да бъдат премахнати. За тази цел, четирима от съдиите просто извадени от скобите:

Сега беше ред и прилагане на формула (2):

Възможно е да се направи без използването на формула (2). И дори без да се правят постоянни $ 4 $ за скоби. Ако приемем, че $ DX = \ fracd (4x + 19) $, получаваме:

3) Трябва да се интегрират по-малка $ \ Фрак $. Тази фракция има структура $ \ $ Frac, където $ М = 4 $, $ N = 7 $, $ р = 10 $, $ Q = 34 $. Въпреки това, за да се уверите, че това е наистина една елементарна частица от третия тип, трябва да се провери състоянието $ р ^ 2-4q <0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 <0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\fracdx$. Первый путь – банально использовать формулу (3). Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

Ние решаваме същия този пример, но без използването на готови формули. Нека се опитаме да се идентифицират в числителя на производната на знаменателя. Какво означава това? Ние знаем, че $ (х ^ 2 + 10x + 34) "= 2x + $ 10. Това е израз 2x + $ 10 $ ние сме за изолиране на числителя. Досега числителят включва само $ 4 x + $ 7, но не за дълго. Приложим за числителя на тази трансформация:

$$ 4x + 7 = 2 \ cdot 2х + 7 = 2 \ cdot (2х + 10-10) + 7 = 2 \ cdot (2х + 10) -2 \ cdot 10 + 7 = 2 \ cdot (2х + 10) -13. $$

Сега, в числителя на изразяване появи изисква $ 2 x + $ 10. И нашата неразделна може да бъде пренаписана в следния вид:

Ние разделят подинтегрален на две фракции. Е и, съответно, на интегрална себе си е също "се разцепи на две":

Нека поговорим първо за първия интеграл, т.е. около $ \ вътр \ Фрак $. Тъй $ г (х ^ 2 + 10х + 34) = (х ^ 2 + 10х + 34) "DX = (2х + 10) DX $, на подинтегрален в числителя на фракцията е разлика от знаменател. Накратко, вместо на експресия $ (2х + 10), се пише DX $ $ г (х ^ 2 + 10х + 34) $.

Сега няколко думи за втория интеграл. Различават в знаменателя на точен квадрат: $ х ^ 2 + 10х + 34 = (х + 5) ^ 2 + $ 9. Освен това, ние се вземе предвид $ DX = г (х + 5) $. А ние получихме по-рано сумата от интеграли може да бъде пренаписана в малко по-различна форма:

Ако в първия интеграл направи смяна $ U = х ^ 2 + 10x + 34 $, то приема формата $ \ вътр \ Фрак $ и ще предприеме просто приложение на втората формула на неопределени интеграли на масата. Що се отнася до втория интеграл, а след това е възможно за подмяна на $ ф = х + 5 $, след което тя ще бъде във формата $ \ вътр \ Фрак $. Тази чиста вода единадесето формула от масата на неопределени интеграли. Така че, връщайки се на сумата от интегралите, ние имаме:

Имаме един и същ отговор, както и че прилагането на формулата (3). че, строго погледнато, не е изненадващо. Обикновено, формулата (3) е доказано чрез същите методи, използвани за KOI ние откриваме този неразделна. Аз вярвам, че един внимателен читател би могъл да бъде въпрос, следователно, да формулира това:

Ако неразделна $ \ вътр \ Фрак $ прилага втората формула на неопределени интеграли на масата. След това ние получаваме следното:

Защо, не е имало решение модул?

Отговорът на този въпрос №1

Въпрос е съвсем логично. Модул отсъства само поради експресията на $ х ^ 2 + 10х + 34 $ за всеки $ х \ от R $ ​​е по-голяма от нула. Това е доста лесно да се покаже по няколко начина. Например, тъй като $ х ^ 2 + 10x + 34 = (х + 5) ^ 2 + 9 $ и $ (х + 5) ^ 2 ≥ 0 $, след $ (х + 5) ^ 2 + 9> 0 $ , Можете да решите по различен начин, без да включват разпределението на точен квадрат. От 10 $ ^ 2-4 \ cdot 34 = -16 <0$, то $x^2+10x+34> 0 $ за всеки $ х \ в R $ (освен ако тази логическа верига е изненадващо, аз ви съветват да видите графичен метод за решаване на квадратно неравенство). Във всеки случай, тъй като $ х ^ 2 + 10x + 34> 0 $, тогава $ | х ^ 2 + 10x + 34 | = х ^ 2 + 10x + 34 $, т.е. вместо на модула могат да се използват конвенционални скоби.

Всички елементи са примери №1 решени само напишете отговорът остава.

Намерете неразделна $ \ INT \ fracdx $.

На пръв поглед, подинтегрален фракция $ \ Фрак $ е много подобен на една елементарна частица от третия тип, т.е. до $ \ Фрак $. Изглежда, че edinctvennoe разлика - това съотношение $ 3 $ до $ х ^ 2 $, но това съотношение и отстраняване на кратка продължителност (в скобите да се направи). Въпреки това, тази очевидна прилика. За една малка $ \ Фрак $ е задължително условие за $ р ^ 2-4q <0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Имаме коефициентът на $ х ^ 2 $ не е равно на единство, следователно, за да се провери състоянието $ р ^ 2-4q <0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D> 0 $, така че експресията на $ 3x ^ 2-5x-2 $ могат да се отчитат. Това означава, че част $ \ Frac $ elementanoy не част от трети тип, и се прилагат към неразделна $ \ Int \ fracdx $ формула (3) не може.

Е, ако даден рационален функция не е елементарно, то тя трябва да бъде написана като сума от елементарни дроби, и след това се интегрират. С една дума, трябва да се възползват от схемата на интегриране на рационални фракции. Как да се разлага рационално фракция в началното написани подробно тук. Нека започнем с факта, че за фактор знаменател:

Podynteralnuyu фракция представени в следната форма:

Сега разширите фракция $ \ fracx + 4> \ вдясно) (х-2)> $ елементарен:

За да намерите коефициентите $ A $ и $ B $ са две стандартни начина: метод на неопределени коефициенти и методът на заместване конкретни стойности. Ние прилагаме метода на заместване на частните ценности, замествайки $ х = 2 $, тогава $ х = - \ Фрак $:

Тъй като се намират на коефициентите, остава само да се напише окончателното разпадане:

По принцип е възможно да напусне този пост, но аз предпочитам по-точна версия:

Връщайки се към оригиналния интеграл, заместваме в нея тази експанзия. Тогава ще се разделят на две неразделна и формула (1), приложими за всеки. Аз предпочитам константа веднага взето извън неразделна знака:

Ние трябва да се интегрират по-малка $ \ Фрак $. В числителя е полином от втора степен, а знаменателят - полином от трета степен. Тъй като степента на числител полином на степен по-малко, отколкото в знаменателя, т.е. $ 2 <3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

Ние ще се счупи само на определен интеграл в три, и всеки се прилага (1). Аз предпочитам константа веднага взето извън неразделна знака:

Продължение анализ на примери на тази тема се намира във втората част.

Свързани статии

• интеграция фракции

• Интегриране на рационални фракции

• Интегриране на простите рационални фракции