Една група от трансформации. Подгрупа на трансформации
Геометрията трябва да направи не една, а няколко реформи, последователни. В случай се счита, когато множеството от трансформации, с имот, че всеки краен последователност на трансформации на този набор може да бъде заменен с един от същия набор трансформация и обратната трансформация всяка една от трансформациите, принадлежи към даден набор отново. Това се нарича - група от трансформации. Разглеждане на трансформациите на групата дава възможност да се идентифицират редица геометрични свойства. Познаването на свойства, които не се променят при трансформациите на група, често да се опрости разтвор на специфични геометрични проблеми.
Определение. фигура реализациите е всяко Биекция самите цифри.
Теорема (на трансформиране на група). Комплектът W на всички преобразувания на фигурата е група.
Следствие. Наборът от трансформации е група с трансформации равнина по отношение на трансформации на състава.
Определение. Подгрупа V група W е подмножество на набор V W, която е група по отношение на бинарна операция е определено в W.
Теорема (подгрупа). Към подгрупа V W групи имат подгрупа ако и само ако следните две условия:
Трансформация на самолет сходството на. Dil самолет
Определение. Да предположим, че има два Декартова координатна система Oij и O / I / к /. докато | I / | = | й / | = к | аз | = к | й | = К (к> 0). След равнината на трансформация, които всяка точка с координатите М (х, у) по отношение на О / I / й / поставя в точка М "със същите координати (х, у), но относително Oij. равнина, наречено трансформация сходство с мащабиране фактор к.
От дефиницията следва, че трансформацията на идентичност и движението е подобие трансформации.
Основната трансформация сходство собственост.
равнина преобразуване сходство променя разстоянието между две равнини точки в същото съотношение, равен на коефициента на сходство, което е, за всички точки M, N и техните снимки M ', N', равнопоставеността | .. M / N / | = к ,
Доказателство. Нека относително Oij точки М и N са координатите М (. X1 y1), N (х2 y2.). Тогава =
Изображенията на М 'и N' точки М, N съответно имат същите координатите (х1. Y1), (х2. Y2) в система O / I / J / координира. намерите:
Имоти сходство трансформация.
Конвертиране на каквито и да било преки сходство самолетни дисплеи в права линия.
Преобразуване полуравнина дисплеи прилика с границата на полу-равнина, където границата.
равнина преобразуване сходство спестява просто съотношение на три точки върху линията.
Трансформация на равнината запазва съотношение сходство "се намират между".
равнина на реализациите показва ъгъл сходство равен на него ъгъл.
Трансформация на сегмент равнина показва сходство към сегмента, лъчът в гредата.
Трансформация на самолет сходството на картите успоредни линии до успоредни линии.
Следствие. Сходство трансформация на равнина паралелограм показва успоредник.
Преобразуване равнина показва сходство вектор в векторната сума на вектори на вектори на сумата и продуктът на вектор в продукт на същия номер на съответния вектор.
Доказателството се основава на определянето на трансформация сходство на формули, свързани координатите на една и съща точка по отношение на две правоъгълна Декартова координатна система, за разлагането на вектора по отношение на бази.
Забележка. Когато координатната система Oij и O / I / й / идентично ориентирани, и обратното ориентирани.
Определение. Равнината на трансформация сходство определя от формулите (1) е сходство трансформация от първи вид и с сходство трансформация на втория вид с.
От основните свойства на трансформация сходство и правилно одобрение обратен (ако равнина трансформация променя разстоянието между точки в същото съотношение, равно на к> 0, тогава е трансформация сходство с мащабиране фактор к), следва различен трансформация определение сходство. Определение. Сходство трансформация равнина с скалиращият коефициент к> 0 е равнината на трансформация, за изменение на разстоянието между две точки в същото съотношение равни к.
Определение. Хомотетия равнина с център О, и хомотетно коефициент наречен хомотетно трансформация равнина, която равнина всяка точка М съответства на точка М / законно
Определяне. - хомотетия равнина с центъра на хомотетия О и коефициента на хомотетия к.
Определение. Наречен хомотетно форми и =.
Хомотетно точки M и M / лежат на една права линия с центъра на хомотетия наоколо.
Точки М и М / лежат на една страна на центъра О. ако к> 0, и - на противоположната страна, ако к<0.
Dil самолет е, когато:
Формула хомотетия центриран в основата:
(. Х0 Y0) Ако хомотетно център е координатите S, тогава формула с хомотетно центъра S има формата:
Ако въведем означението. След това ние получаваме формулата
Основната собственост на разширяване.
За всички точки M, N и техните снимки. равенство притежава:
Доказателство. Ние използваме уравненията:
Хомотетно трансформация с коефициент е трансформация сходство с коефициента на сходство. защото от основния имота, или трябва.
ако к> 0, и. ако к<0.
Dil равнина има всички свойства на трансформация сходство, по-специално: директна дисплей в права линия, паралелни линии - в успоредни линии променя всички разстояния в една и съща връзка, тя запазва ъгли.
Характерни свойства на разширяване.
Dil самолет има една фиксирана точка - центъра на разширяване.
Dil самолет показва права линия, минаваща през центъра на разширяване, в себе си.
Dil равнина () показва права линия, по линия, паралелна към него, така че да не преминава през центъра на дилатация.
Dil равнина показва окръжност, чийто център съвпада с центъра на дилатация в концентричен кръг. Където радиуси на кръговете са свързани.
Всеки две неравни периферен хомотетно един с друг, при което, ако обиколката не са концентрични, има две хомотетно, показваща една от тях в друга.
Dil самолет е подобие трансформация от първи вид.
Теорема. Преобразуването сходство с мащабиране фактор к може да бъде представена като състав хомотетия и движение.
сходство група трансформация и неговите подгрупи
Теорема 1. Комплектът всички трансформации равнина група трансформация сходство се нарича група прилики.
Ако - трансформация прилика с коефициенти и. след това - с коефициент на трансформация сходство. Наистина е трансформация на самолета. Ние показваме, че за всеки две точки М и Н, както и техните снимки. Равенството. И означаване. след това. Според основния собственост на трансформация прилика. Следователно, съставът е трансформация сходство.
Да - прилика трансформация самолет. Тъй като всички промени в съотношението на разстоянието. след това си обратна трансформация променя всички разстояния по отношение.
Следователно, - с коефициент на трансформация сходство.
И двете условия и екзекутиран. Следователно, множество подобие трансформации е подгрупа на всички преобразувания на равнината и следователно група.
Определение. Множеството от всички подобни форми помежду си, се нарича форма.
ТЕОРЕМА 3. подгрупа на сходства равнина са:
Реализации сходство от първи вид;
Групата за движение и всички нейни подгрупи;
В групата на преводи и над разширенията;
Група homotheties с един и същ център.
подобие метод
метод сходство е удобен за доказване теореми или решаване на проблеми. Този метод решава проблема, при което определен ъгъл, сегментите на връзката, и само един, това състояние е свързано с линейните размери на желаната форма. Фигури отговарят на всички условия на проблема, освен това е свързано с желаните размери форма подобни един на друг. Чрез конструиране на един от тях, и след това бране подходящо, коефициентът на сходство, изграждане на желаната форма.
Теорема. Медианите на триъгълника се пресичат в една точка, всеки средната дял този момент в съотношение 2: 1 (като се брои от върха на триъгълника).
Задача. Постройте триъгълник ABC, ако се има предвид. съотношение AB: BC = m: N (сегменти m, п-данни) и AC страна на медианата [21].
Свързани статии