14 функционални последователности и серия
Досега сме под внимание само числени последователности и числена серия. Сега ние ще проучи последователността, чиито елементи - функция, както и поредицата, чиито условия са функции.
14.1 Pointwise и еднакво конвергенция
Разглеждане на последователността на функциите
f1 (х). f2 (х). f3 (х). определена на набор ЕИР. Вземете всички ОВОС. Заместването на х а. Ние получаване на последователност от числа п (а)>. Тя може да се сближат или може да се отклонява. Наборът от номера на. който се получава чрез заместване на цифрова последователност събират, наречен конвергенция домейн последователност п (х)>. Ние ще означаваме множеството на писмо D:
За всяка помощ краен срок, който ние означаваме с е (а):
.
Използвали сме функционален запис е (а), когато се отнася до броя, за да се подчертае, че този лимит зависи от. т.е. е функция на. Можете да използвате по-запознати нотацията на променливата:
, без да се забравя, че е (х) се определя само от набор D. използва като икона запис без Лим. , Такова сближаване на последователност N (X)> до F на функция (х) е Pointwise. Ние даваме на определението за конвергенция Pointwise на езика на «д-г":
.
Сега да се определи единна конвергенция, които означават, както следва: (чете "последователност Fn (х) клони равномерно върху набор D към функция е (х)"). по дефиниция,
.
На пръв поглед малка разлика в определенията, но това е от съществено значение. Първото определение, че се изисква за всеки брой има скри n0 с определен имот. За различните х такива номера могат да бъдат различни. През втората дефиниция - много по изискване: един и същ номер n0 трябва да е подходяща за всеки скрил. Така, че е ясно, че единна конвергенция следва Pointwise:
.
Обратното - погрешно, вижте Пример 1 по-долу ..
Ние даваме геометрична илюстрация на концепцията за единна конвергенция. Изискването на дефиницията:
означава, че, като се започне от определен брой графични функции Fn (х) не се различават много от F графиката (х) на целия набор Г. лъжа в «д -trube" на графиката на е (х). По този начин,
графики Fn (х) принадлежат към «електронна тръба" графичен F (х).
Пример 1. Разглеждане на последователността на функциите
Предполагаме XID = [0, 1]. Във всяка точка на набор последователност клони:
Свързани статии