ТЕМА. Елементи на вектор алгебра
Въпрос 1: Основни понятия и определения.
Векторът се нарича насочено сегмент (подредени двойка точки). Чрез вектори също се прилага нулев вектор, в началото и в края е същото.
Дължина (модул) на вектора е разстоянието между началото и края на вектора.
Вектори се наричат колинеарни, ако те са на едни и същи или паралелни линии. Нулевата векторът е колинеарна с всеки вектор.
Условия колинеарност на два вектора
В продължение на два вектори лежат на една права, ако и само ако техните проекции са пропорционални :.
Векторите се наричат в една равнина, ако има равнина, към който те са успоредни.
Колинеарни вектори винаги в една равнина, но не всички копланарни колинеарни вектори.
Вектори се наричат равни, ако те лежат на една права, една и съща посока и имат едни и същи модули.
Всички вектори могат да доведат до общ произход, т.е. изгради вектори съответно равни на данни и имат общ произход. От определението за равенство на вектори, от това следва, че всеки вектор има безкраен брой вектори, които са равни на него.
Линейни операции над вектори, наречени събиране и умножение от редица.
Сумата на векторите е вектор -
Работа -. Така колинеарни.
Vector има същата посока с вектора (-), ако> 0.
Векторът е насочен противоположно на вектора (-¯ ) Ако <0.
5) (с х б) = а (б) - асоциативност
6) (A + B) = а + б - Distributivity
7) на (+) = A + A
Основа в пространството по всички 3 не-копланарни вектори, взети в определен ред.
Основа на самолета се определя като всеки две не-колинеарни вектори, взети в определен ред.
Основа на линията е всеки ненулев вектор.
Ако - база в пространството и. на номера А, В и G - наречен компоненти или вектор координати в тази база.
В тази връзка, можем да запишем следните свойства:
- равни вектори имат същите координати,
- когато умножена по броя на векторни компоненти и се умножават по този брой,
- техните компоненти са образувани чрез добавяне на векторите.
Линейната зависимост на вектори.
Векторите се наричат линейно зависими. ако съществува линейна комбинация. ако не е равна на нула в момент, ай. т.е. ,
Ако, обаче, само ако ай = 0 е изпълнено. тогава векторите се наричат линейно независими.
Собственост 1. Ако между векторите е векторът нула, тогава тези вектори са линейно зависими.
Имоти 2. Ако системата е линейно зависими вектори добавят един или повече вектори, получената система също ще бъде линейно зависими.
Имота 3. Системата на вектори са линейно зависими единствено и само ако един от векторите разлагат в линейна комбинация на други вектори.
Имота 4. Всеки две колинеарни вектори са линейно зависими от друга страна, всеки две линейно зависими вектори са колинеарни.
Имота 5. Всяко 3 копланарни вектори са линейно зависими и обратно, всички 3 копланарни вектори са линейно зависими.
Имота 6. Всеки четири вектори са линейно зависими.
За да се определи местоположението на точка може да се използва от различни координатни системи. Позицията на всяка точка от която и в координатната система, трябва да се определя еднозначно. Концепцията на координатната система е събирателен пункт за произход (произхода) и база. Както в самолета и в космоса е възможно да се определи най-различни координатни системи. Избор на координатната система, зависи от набор от символи на геометрична, физически или технически проблем. Помислете за някои от системата най-често използваният в практиката, координатите.
Декартова координатна система.
Ние се определи точката O в пространството, и ние смятаме произволна точка М
Векторът се нарича радиус вектор от точка М. Ако пространство на база набор, точка M да свързват определени три числа - компоненти на неговата радиус вектор.
Декартова координатна система в пространството е заданието и основа. Една точка се нарича произхода. Правите линии, преминаващи през произхода се нарича координатните оси.
Първата ос - хоризонталната ос
Втората ос - оста на ординатата
Третата ос - на Z координатна ос
За да намерите компонентите на вектора на необходимостта от координиране на края му се изважда началото на координатите.
А база се нарича ортонормален. ако векторите са взаимно перпендикулярни и равни на един.
Декартова координатна система, чиято основа е ортонормирана нарича Декартова координатна система.
Предвид векторите (1; 2; 3), (-1, 0, 3), (2, 1, 1) и (3, 2, 2) в някаква основа. Покажете, че векторите. и представлява основа, както и да намерите координатите на вектора в тази база.
Вектори формират основата, ако те са линейно независими, с други думи, ако уравненията, включени в системата:
Това условие е изпълнено, ако детерминантата на матрична система е различна от нула.
За решаването на тази система ние използваме метода на Крамер.
Общо координати на вектора в базата. , , <-1/4, 7/4, 5/2>.
Дължината на вектора в координатите, определени като разстоянието между точките на началото и края на вектора. Ако са дадени две точки в пространството А (х1. Y1. Z1), В (х2. Y2. Z2), след това.
Ако точка М (х, у, Z) разделя сегмента AB в съотношение л / м, като се брои от А, тогава координатите на тази точка се определя като:
В конкретния случай на координатите на средата са като:
Линейни операции на вектори в координати.
Да предположим, че векторите в Декартова координатна система
След това линейни операции над тях в координатите са в следния формат:
Свързани статии