Фиг. 2. Паралелно транспорт по дъгата
Визуално представяне на символите Christoffel може да бъде получена от примера на полярната координатна система. В тази система на координати точки са на разстояние R> от него, на полюс и ъгъла φ на посоката на полярната ос.
Нека вектор A> с компонентите (а. Α). където има геометрична смисъла на проекцията на вектор А> да радиална греда (преминаваща през началото на вектора), и α - ъгъл на вектора се вижда от полюс. В правоъгълна координатна система, векторните компоненти не са се променили от паралелен превод. В полярен координатна система не е случаят (вж. Фигури 1 и 2).
Christoffel символи само експресират компонент на вектора промяна, когато е паралелно изместване.
Паралелно по протежение на координатните линии
Когато радиално изместване вектор по лъч на разстояние г г> г>. компонент а. очевидно не се променя, но второто координира (α) намалява (фиг. 1). Големината на вектора | A | 2 = 2 + R 2 α 2 = а ^ + R ^ \ алфа ^> остава постоянно, така че 2 + (R + р) 2 (α + г α) 2 = 2 + R 2 α 2 + (R + > г) ^ (\ алфа +> \ алфа) ^ = ^ а + R ^ \ алфа ^>. Така се получава (пренебрегване количества на втория и по-високи условия ред):
Паралелно трансфер в произволна посока
В произволно малък обем вектор промени пъти компонент (При смяна и R и ф.):
Получените изрази имат обща структура: Промяна на вектора компонент пропорционално на всички векторни компоненти и са пропорционални на вектора на смяна. Коефициентите на пропорционалност (без общ минус) и се наричат Christoffel символи.
Тук Christoffel символи Γ януари 22 = - R ^ = - R >>. Γ = Γ 12 февруари 21 февруари = 1 / R ^ = \ Гама _ ^ = 1 / R>. а всички останали са с нулева стойност.
В правоъгълна координатна система всички символи Christoffel са равни на нула, тъй като векторните компоненти не са се променили от паралелен превод. От това можем да заключим, че символите Christoffel не са тенсор форма. ако тензорът е нула във всяка координатна система, тя е равна на нула при всички други координатни системи.
Christoffel символи на първия и втория вид
Експресия чрез показател тензор
Леви-Civita символ Christoffel свързаност за х карта аз> може да се определи от липсата на усукване, което е:
За краткост, символът nabla ∇ символи и частични производни често са пропуснати, вместо тях в предната част на индекса на която диференциацията се поставя запетая ";" в случай на ковариация и запетая "," в случай на частично производно. По този начин, по-горе израз също може да се изписва така:
са получили изрично изрази за символите Christoffel от втория вид, ако си сложиш това уравнение и другите две уравнения, които са получени чрез циклична пермутация на индексите:
където г Й \> - contravariant изображение на показател, който е матричен обратна на грам Й \ от>. е установено чрез решаване на система линейни уравнения г Й г й к = δ К г _ = \ делта _ ^ \>.
Комуникация с bezyndeksnymi наименования
Официално, bezyndeksnye определяне свързаност абстрахира от конкретна координатна система, а оттам и по-предпочитани при доказване на математическите теореми.
Нека X и Y - вектор поле с компоненти X аз \> и Y к \>. Тогава к-тия covariant производно на поле компонент Y на по отношение на X е дадено от
Условие за липсата на усукване в свързаност. ∇ X Y - Y ∇ X = [X. Y] Y- \ nabla _X = [X, Y] \>. еквивалентни симетрия Christoffel символи от две индекси:
Въпреки факта, че символите Christoffel са написани на една и съща система за означаване като компонентите на тензорни. те не са тензори. защото те не се трансформира като тензори в прехода към нова координатна система. По-специално, изборът на координати в близост до всяка точка от символите Christoffel може да бъде локално направени равно на нула (не е нула или обратното), не е възможно за тензор.
Когато промяната на променливите (х 1. х н). х ^) \> на (у 1. у п). у ^) \>. базисни вектори се трансформират ковариация
което предполага трансформация формула Christoffel символи:
Лентата означава Y координатна система. По този начин символите Christoffel не са трансформирани като тензор. Те са по-сложна геометрична обект в пространството допирателна с трансформацията на правото на нелинейни от една координатна система в друга.
Забележка. Може да се отбележи, например, определяне, че първият индекс е тензор, т.е. Christoffel символи са трансформирани като тензор.
Christoffel символи в различни координатни системи
Използване на изразяване характер на метричен тензор. или координатна трансформация, може да се получи стойността на всяка координатна система. В механиката и физиката най-често използваната ортогонална криволинейна координатна система. В този случай, символите Christoffel с еднакви коефициенти изразени по отношение на Куците коефициенти (диагоналните елементи на метричен тензор) Н Р>. а всички останали са с нулева стойност.
Christoffel символи на първия вид може да се изрази по следния начин:
Christoffel символи на втория вид:
Стойностите за обща координатна система:
Свързани статии