Работа в 11 клас, забелязах, че учениците им е трудно да се приложи на интеграл за тази цел, попита дали по никакъв друг начин. Разбира се, че можеш. Един от вариантите - формулата на Симпсън. (Симпсън, Томас (1710-1761) - английски математик)
Как? Ето една възможна последователност на изучаване на теорията:
1. Понятието обем. обеми свойства. (LS Atanasyan).
2. Обемът на правоъгълен паралелепипед (LS Atanasyan).
3. формула за изчисляване на обемното тяло с помощта на определен интеграл (LS Atanasyan, но само да въведете самата формула, е полезно само за следващия абзац).
4. Обемът на пирамидата.
а) За да се докаже, че триъгълните пирамиди с еднакви бази и равни височина равна площ (това е лесно да се направи, например, като се използва същата формула изчисление обем тяло с помощта на определен неразделна);
б) формула обем на триъгълна пирамида с три взаимно перпендикулярни ръбове, произтичащи от връх (заключи, "допълващ" на триъгълна пирамида на правоъгълен паралелепипед);
в) формулата за обема на всяка триъгълна пирамида (въз основа на точка а);
ж) формула обем пирамида произволно (произволна пирамида разделена на триъгълна пирамида).
5. prismatoid. формула на Симпсън.
6. Определяне на обема формули на всички други органи, като се използва формулата на Симпсън, включително обема на топката.
Например, получаването на обема на сферичен сегмент:
Това освобождава време за изучаване на теорията за решаване на проблемите. Студентите, които имат интерес, свързан с факта, че една формула дава възможност за показване на всички останали, че е достатъчно само да го запомним. И ако сте забравили някой друг, това може лесно да се получи от формулата на Симпсън. Между другото, тази формула е в книгата на Я. Перелман "Интересно геометрия".
Ето един откъс от книгата споменато по-горе II Bavrina, VA Sadchikova "Нови предизвикателства за твърди геометрия" с доказателство за формула на Симпсън за prismatoid.
"Prismatoid - полихедронов, върховете на които са разположени на две успоредни равнини. Лица, намиращи се на следните самолети, наречени бази prismatoid.
Не би било в противоречие с prismatoid на дефиниция, ако полихедронов, в които горните и долните основи са противоположно полигони и страничните стени - триъгълници, ние ще наричаме prismatoid.
фигура многоъгълника А1 А2 A3. А п - prismatoid горната основа, тази базова площ означен SB; многоъгълник В1 В2 В3 ... Bm - prismatoid долната основа, областта на SH базовата означават; С1 С2 С3 многоъгълник. Ck - средата на кораба prismatoid площ на този раздел е означен SSR; височина prismatoid означаваме H.
Ясно е, че равнината на средна секция prismatoid на пресича страничните ръбове в техните средите, т.е. граница среда преминава през средната част на страничните повърхности на prismatoid линии. Тъй като средната секция равнина, успоредна на бази prismatoid, тази равнина преминава през средата на височината Н prismatoid, което се отразява на фигурата като двете разстояния з / 2.
Заключение Simpson формула. В средното сечение S1 S2 S3 самолета. Ck изберете произволна точка P. Connect този момент с всички върхове prismatoid. В резултат на това в точка P може да се разглежда като общ връх набор от пирамиди. Prismatoid по този начин тя може да се разглежда като комбинация от три вида пирамиди:
1) с връх Р на основата пирамида и А1 А2 A3. AN.
2) с връх Р на пирамидата и база В1 В2 B3 на ... Bm.
Знаейки, че обемът на пирамидата се изчислява по формула V = (1/3) SH, лесно да определи обема на всяка от трите вида пирамиди, представляващи източник prismatoid:
3) Нека разгледаме един от страничните пирамиди, например, пирамида PA1 В1 В2. Обемът на тази пирамида
По същия начин, можем да си представим силата на звука на другата "страна" на пирамидите.
Остава да се намери сумата от обемите на всички "страна" на пирамидите.
Обобщавайки обеми комбиниран пирамида с връх при P, ние откриваме prismatoid на силата на звука: