Решение на проблема Коши за система от диференциални уравнения на първия ред
Нормално система от п първи ред диференциални уравнения с неизвестни функции е система:
Разтвор на (1) в интервала (а, б) е набор от п функции. непрекъснато диференцируема на (а, Ь) и завъртане, когато се замести уравнение (1) идентичност. Проблемът с Cauchy за системата (1) се приготвя както следва: да се намери решение за тази система отговаря на първоначалните условия
при което - даден номера. За нормална система за управление (1) е теоремата за съществуването и уникалността на решения на проблема Cauchy. Решението на проблема Коши е специално решение за нормален CDS.
Пишем на системата (1) форма vvektornoy чрез въвеждане на векторни функции вектор - колона с неизвестен функция. негово производно и вектора - колона Характеристика на дясната страна на системата (1).
С помощта на тази бройна система, проблемът Коши за системата (1) може да се запише като:
Както можем да видим, вектор нотация (3) на проблема Коши за първата заповед за SDE има същата форма като за контрола на първата поръчка. В случай на CDS, вместо на функциите имаме функция вектор. съответно. метод на Ойлер, метод Рунге-Kutta за контрола на първия ред може да бъде официално удължен до ЦДП на първия ред, в този случай коефициентите също ще бъдат вектори. Например, система вектор нотация Runge-Kutta метод втория ред (3) има формата:
По-долу описва методите за конкретен пример.
Намаляване на диференциални уравнения на п-ти ред на нормалната система за контрол на първия ред.
Да разгледаме проблема Коши за диференциално уравнение от п-ти ред:
Ако уравнението (7) може да бъде решен за най-производно. т.е. може да бъде представен във формата, може да доведе до нормално система на п диференциални уравнения. слагам:
Уравнение (7) след това се превръща:
По този начин, нашата уравнение е намалена до нормално CDS:
Началните условия (8) имат следната форма:
Помислете за методите за пример на данни.
Нека да решим проблема Коши за контрол уравнение от втори ред числени методи. Решението в този случай ние се функция на мрежата, т.е. разтвори за получаване на стойностите на предварително определени мрежа възли.
Да разгледаме проблема Коши за уравнението:
Точното решение на задачата на Коши за уравнението е както следва:
Ние считаме, че стойността на точното решение за специфични възли на мрежата:
Свързани статии