Нека п = 2M - четен брой и Yi = F (XI), (I = 0..n) - стойността на функцията Y = F (х) за равноотстоящи точки а = Х0. x1. x2. ..., хп = б със стъпка з = (В-А) / п = (В-А) / 2м. Чифт секции (фиг.3) крива у = е (х) се заменя със парабола Y = L (х), чиито коефициенти са избрани така, че да преминава през точка y0 на. y1. v2.
Фигура 3. Геометрична интерпретация на интеграция чрез метод на Симпсън.
Площта на криволинеен трапец, оградена по-горе от параболата, ще бъде:
Обобщавайки общата площ на криволинейни трапеци, получаваме:
Когато п = 6-р, р = 4. Следователно, Simpson формула за числено интегриране на формата:
Терминът остатъка е от вида:
На практика, за да се оцени абсолютна грешка формула на Симпсън прилагат следните отношения:
В същото време, като правило, се надценява.
2. Правило Рунге (н - четно число) дава оценка на по-фини:
Но той може да получи за една ниска оценка, за да се боят.
Формула правоъгълници и трапеци дават точната стойност на интеграл когато F на подинтегрален (х) е линейна. защото тогава е "(х) = 0, и формула Симпсън е точна за полиноми до трета степен. т. к. В този случай, е (4) = 0.
Ако функция у = F (х) е даден в табличен и неговите производни са трудно да се намери в поемането на липсата на бързо компоненти колебания могат да бъдат използвани приблизителни формули за грешки, изразена по отношение на крайни разлики:
1. Да предположим, че искате да се изчисли интеграла с точност # 949;. Използване на подходящ формула на остатък R, з е избран така, че да отговарят на неравенство.
2. Кликнете два пъти Central. (Член Рунге).
Числено решаване на трансцендентното и нелинейни уравнения.
Ако алгебрични или трансценденталната уравнение е доста сложно, корените му са сравнително рядко е възможно да се намери точно. Поради това, голямо значение са приблизителни начини за намиране на корените на уравнения и оценка на степента на точност.
Процесът на намиране на приблизителните стойности на корените на уравнението:
където F функция (х) се определя и непрекъснато върху някои ограничен или
безкраен интервал всяка стойност # 955;, инвертиране на функцията F (х) на нула, т.е. такава, че е (# 955) .. = 0 се нарича корена на уравнението (1) или нула функция е (х). Разделят корените - което означава да се прекъсне цялата гама от допустимите стойности на сегменти, всеки от които съдържа един корен. разделяне корени може да се извърши по два начина - графични и аналитични. Графичен метод за разделяне на корени. а) изобразени функция у = е (х) за уравнението на форма F (х) = 0. Стойностите на реалните корени на уравнения се генерират абсцисата пресечните точки на функция у = F (х) с х-ос (Фигура 1); б) представлява уравнение (1) като # 966; (х) = грам (х), и изчертаване функции Y = # 966; (х) и у = грам (х). Стойностите на реалните корени на уравнението са абсцисната на пресечните точки на графиките на функции у = # 966; (х) и у = грам (х) (Фигура 2). Сегментите, които обграждат само един корен, лесно намерени. Аналитичният метод се основава на разделянето на корените на следната теорема: ако непрекъснато върху функцията се в краищата на стойностите на сегмента на различни признаци, т.е. , в този интервал е поне един корен на уравнението; ако това производно на постоянен знак в сегмента. коренът е само един. Усъвършенстване корени до предварително определена точност. Т.е. стесняване сегмент локализация на корена [а, Ь]. Разполагате с няколко метода. метод разполовяване (дихотомия). Нека разделени корен и принадлежи към сегмента. Намерете средната точка на формула (фиг.3). Ако. след това с - необходимата корена. Ако. след това изберете другата половина като нов сегмент или корен изолация. който завършва заема стойности от различни признаци. С други думи, ако. след корена принадлежи към сегмента. ако - сегмента. Получената намален наполовина отново се разделят, ние откриваме. Изчисляват. изберете сегмента, и т.н. Веднага след това ще бъдат изпълнени. след като приблизителна стойност от корена, изчислен с точност. можете да предприемете. След всяка итерация, сегмент, в който основата се намалява наполовина, т.е. след п повторения това намалява до 2 п пъти. По този начин, броят на N повторения на този метод зависи от предварително зададената точност # 949; и от първоначалната дължина сегмент и е независимо от F функция (х). Това е важно предимство на метода на разполовяване в сравнение с други методи. Методът обаче клони бавно, когато сте посочили изчисление прецизност. Нека интервала [а, Ь] функцията F (х) е непрекъсната и поема краищата на стойностите на сегмента на различни признаци, и производни на F '(х) и F "(х) поддържат постоянно знак на интервала (а, Ь). След това има четири случая на кривата на мястото на дъга (Фигура 4).
Методът на акорда за следващия сближаване вземат точката на пресичане с оста X на линията (Фигура 5), свързваща точка (а, е (а)) и (Ь, (б))
И една от тези точки е фиксирана - този, за който знаците е (х) и е "(х) са едни и същи.
Фиг.5 фиксиран към края на акорд е х = а.
Уравнението на акорд КБ:
пресечната точка на хордата с X ос (у = 0).
Сега, основата е на интервала [а, с1]. Сменете б от С1.
Фигура 5. Илюстрация на метода на акорди.
Прилагането на метода на акорди за този сегмент, получаваме:
Ние ще продължим и т.н. получаваме: (2) изчисления Условия за затваряне:
За оценките за грешка може да се използва общата формула:
По този начин, ако е (х) # 8729; F "(X)> 0, приблизителната стойност на корена е намерена от формула (2), ако е '(х) # 8729; F" (х) <0 (т.е. фиксируется х = b), то по формуле:
Свързани статии