Задачата за намиране на точната стойност на определен интеграл не винаги е решението. Наистина, примитивното на подинтегрален в много случаи не могат да бъдат представени под формата на една елементарна функция. В този случай, ние не можем да се изчисли точно определен интеграл на Нютон-Лайбниц формула. Въпреки това, съществуват методи за числено интегриране, което позволява да се получи стойността на определен интеграл с необходимата степен на точност. Един такъв метод е методът на Simpson (известен също като параболи).

Навигация в страниците.

метод параболи (Simpson) - метода, формула, оценка на грешката, илюстрацията.

Нека функция у = F (х) е непрекъсната върху интервала [а; б] и ние искаме да се изчисли определен интеграл.

Разделете интервала [А; Ь] за п елементарни интервали от точки дължина. Нека точките са средите на отсечките, съответно. В този случай, всички "възли" се определят от уравнението.

Методът на параболи.

На всеки интервал, за подинтегрален функцията подходи квадратното парабола, минаваща през точките. Оттам идва и името на метода - метода на параболи.

Това е да се гарантира, че като приблизителна стойност на определени интеграли, за да можем да се изчисли с формулата на Нютон-Лайбниц. Това е същността на метода на параболи.

Геометрично това изглежда така:

Графичен илюстрация на метода на парабола (Simpson).

Червената линия показва графика на функция у = е (х). синя линия показва графиката на апроксимация на функции у = F (х) от квадратични параболи на всеки елементарен сегмент на дяла.

Произхода на метода на Simpson (параболи).

По силата на петия имота имаме определен интеграл.

За формулата на метода на парабола (Simpson) остава да бъде изчислена.

Нека (винаги можем да постигнем това, има съответстваща геометрична промяна трансформация за всеки аз = 1, 2. п).

Ние показваме, че точката преминава през само един квадратното парабола. С други думи, ние показваме, че коефициентите се определят еднозначно.

Тъй - точка от параболата, вярно е, всеки от системата уравнения

Записани от системата уравнения е система от линейни алгебрични уравнения за неизвестните променливи. Основната детерминанта на матрицата на тази система от уравнения е Vandermonde детерминанта, макар да е нула за отделни точки. Това показва, че системата от уравнения има уникален разтвор (описано в статията разтвор на системи линейни алгебрични уравнения), което означава, че коефициентите се определя еднозначно, и преминава през точките само квадратичен парабола.

Сега е ред за определяне на интеграла.

С помощта на тези уравнения, да извърши последния преход в следната верига от равенства:

Така, че е възможно да се получи метод формула параболи:

метод формула Simpson (параболи) има формата
.

Предварителна оценка на абсолютната грешка на Симпсън.

Абсолютната грешка на метода се изчислява като Simpson.

Примери за приблизително изчисляване на определен интеграл от Симпсън (параболи).

Нека разгледаме използването на метода на Симпсън (парабола) в приблизителното изчисление на определени интеграли.

Два вида на работни места обикновено са включени:

• В първия случай е необходимо да се сближат определен интеграл от формула на Симпсън за даден п.
• Във втория случай помоли да намерите на приблизителна стойност на определен интеграл от Симпсън (параболи) нагоре (например, с точност до една хилядна).

Налице е логичният въпрос: "С каква степен на точност, за да извършват междинните изчисления"?

Отговорът е прост - точността на междинните изчисления трябва да бъдат достатъчни. Междинните изчисления трябва да се извършват с точност 3-4 порядъка по-висока от поръчката. Също така, точността на междинно изчисление зависи от число п - в сравнение с големите п. на по-точни междинни изчисления трябва да се извършват.

Изчислете определеният интеграл от Симпсън, чупене на интервала на интегриране в 5 части.

От условието знаем, че а = 0; б = 5; п = 5; ,

метод формула Simpson (параболи) има формата. За да кандидатствате, трябва да се изчисли стъпка, за да се определи възли и изчисляване на съответните стойности на подинтегрален.

Междинните изчисления се извършват с точност четири знак (закръглено до петия знак).

Така че, ние се изчисли стъпка.

Ние се обръщаме към възлите и стойностите на функцията в тях:

За по-голяма яснота и удобство, резултатите обобщени в таблицата:

Заместването на тези резултати в метод екв параболи:

Изрично се определен интеграл, който може да бъде изчислена от Нютон-Лайбниц формула, за да сравните резултатите.

Резултатите са в съответствие с два знака след десетичната запетая.

Изчислете метод на определен интеграл Симпсън с точност до 0,001.

В този пример, а = 0 ..

Първото нещо, което трябва да се определи п. За това ние се обръщаме към неравенството за оценка на абсолютната грешка на Симпсън. Можем да кажем, че ако можем да намерим п. за които следното неравенство притежава, а след това с помощта на метода за изчисляване на параболата като се започне от неразделна абсолютна грешка не надвишава 0,001. Последното неравенство може да бъде пренаписана, както.

Нека да разбере какво най-голямата стойност на четвъртия модул получава производната на подинтегрален в интервала от интеграция.

Обхват на функцията е интервалът, а интервалът на интеграция включва екстремум точки, обаче.

Ние замени стойността намерени в неравенството и да го реши:

Тъй като п е естествено число (същия брой сегменти, в които интервала на интегриране), е възможно да се п = 10, 11, 12, ... За да направи ненужни изчисления, да п = 10.

Сега, ние действаме като в предишния пример. На закръгляване на междинни изчисления се извършват в шести порядък.

Намерете най-възли и ценностите на подинтегрален в тях:

резултати от изчисленията са комбинирани в следната таблица:

Заместването стойности в метода формула параболи:

По този начин, съгласно метода на Simpson, получен от интегрална стойност приблизително в рамките на 0.001.

Наистина, изчисляване на оригиналния интеграл от Нютон-Лайбниц формула, получаваме

Това в много случаи е трудно. Можете да го направите без него, като се използва алтернативен подход към използването на метода на парабола. Нейната основна е описана в метода на трапеца. така че това няма да се повтори.

Каква е приложен в числено интегриране метод?

точност Симпсън на (параболи) по-висока точност на метода на трапеци и правоъгълници за даден п (това е видно от оценката на абсолютната грешка), така че използването му е за предпочитане.

Трябва да се помни за въздействието на компютърни грешки в резултат на голяма п. че може да забави приблизителната стойност на прецизни.