квадрат: σ0 (п) е нечетно; етап 2: и (п) = N - 1 (почти пълна)

Случаи на Неуспешен анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; . Вижте математика / README - да се създаде помощ): х = 2. Неуспешен анализ (изпълним файл. texvc не може да бъде намерен; Виж математика / README - за определяне на референтната): .. X = 3 и така нататък са включени в последователността A001157. A001158. A001159. A001160. A013954. A013955 ...

За цяло не са квадрати, всеки делител г на п е двойка делител п / г, и следователно, не можа да се анализира (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; Вижте математика / README - Setup Помощ): .. \ Sigma_ (п) винаги, дори и за такива номера. Ъгълници за един делител, а именно Неуспешен анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; . Вижте математика / README - Setup Помощ): \ SQRT н .. Тя не разполага с чифт, така че за тях е невъзможно да се направи разбор (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; Вижте математика / README - да се създаде сертификат): .. \ Sigma_ (н) винаги е странно.

Грешка при анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; Вижте математика / README - да се създаде сертификат) :. \ Започнете \ sigma_0 (р). = 2 \\ \ sigma_0 (р ^ п) = N + 1 \\ \ sigma_1 (р) = P + 1 \ край

защото по дефиниция просто число се дели само от един и себе си. Ако PN # е praymorial. на

Грешка при анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; . Вижте математика / README - Setup Помощ): \ sigma_0 (p_n \ #) = 2 ^ п.

Ясно е, че не можа да се направи разбор (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; . Вижте математика / README - да се създаде помощ): 1. <\sigma_0(n) texvc не може да бъде намерен; Вижте математика / README - да се създаде сертификат) :. \ Sigma (н)> н за всички Неуспешен анализ (изпълним файл. texvc не може да бъде намерен; . Вижте математика / README - да се създаде помощ): п> 2 ..

Ако пишем

Грешка при анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; . Вижте математика / README - да се създаде помощ): п = \ prod_ ^ р ^ p_i ..

където R = ω (п) - броят на основните фактори на п. пи --тото основен фактор, както и ай - максимална степен на пи. която разделя п. на

Грешка при анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; . Виж математика / README - за определяне на референтната): \ sigma_x (п) = \ prod_ ^ \ Frac ^ + 1) х> -1> ^ х-1> ..

Грешка при анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; Виж математика / README - за определяне на референтната): .. \ Sigma_x (п) = \ prod_ ^ г \ sum_ ^ p_i ^ = \ prod_ ^ г (1 + p_i ^ х + p_i ^ + \ cdots + p_i ^).

Ако ние се х = 0, ние откриваме, че г (н) е равен на:

Грешка при анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; Виж математика / README - да се създаде сертификат) :. \ Sigma_0 (п) = \ prod_ ^ R (a_i + 1) ..

Например, броят п = 24 има две основните фактори - p1 = 2 и р2 = 3. 24 - продукт на 2 х 3 3 1 3 след а1 = 1 и А2 =.

Сега можем да се изчисли Неуспешен анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; Вижте математика / README - да се създаде сертификат) :. \ Sigma_0 (24) ..

Грешка при анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; . Вижте математика / README - да се създаде помощ): \ започне \ sigma_0 (24). = \ Prod_ ^ (a_i + 1) \\ = (3 + 1) (1 + 1) = 4 \ пъти 2 = 8. \ край

Осем делители на 24 - е 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 и 24.

Забележете също, че е (N) = σ (п) - п. Тук е (п) показва сумата на собствените делители на п. т.е. делители освен Броят п. Тази функция се използва за определяне на броя перфектно - за да е (п) = N. Ако е (п)> п. п се нарича излишни. и ако е (п)

Ако п - мощност на две, което е, не можа да се направи разбор (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; . Вижте математика / README - Setup Помощ): п = 2 ^ к .. След това Неуспешен анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; Вижте математика / README - да се създаде сертификат): .. \ Sigma (н) = 2 \ пъти 2 ^ к - 1 = 2n - 1, и е (п) = п - 1. приготвяне н почти перфектни.

Като пример за две прости числа п и Q (където р

Грешка при анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; . Вижте математика / README - Setup Помощ): п = PQ ..

Грешка при анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; Виж математика / README - да се създаде сертификат): .. \ Sigma (п) = (р + 1) (р + 1) = N + 1 + (р + р), не можа да се анализира (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; Виж математика / README - настройка Помощ) :. \ Phi (п) = (р-1), (р-1) = N + 1 - (р + р) ,.

Грешка при анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; .. Виж математика / README - да се създаде помощ): N + 1 = (\ сигма (н) + \ Фи (п)) / 2, Неуспешен анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; Виж математика / README - да се създаде сертификат): .. P + р = (\ сигма (п) - \ Фи (п)) / 2,

След р и р са корените на уравнението:

Грешка при анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; Виж математика / README - да се създаде сертификат): .. (XP) (XQ) = х ^ 2 - (р + р) х + п = х ^ 2 - [(\ сигма (п) - \ Фи (п)) / 2] х + [(\ сигма (п) + \ Фи (п)) / 2 - 1] = 0

Грешка при анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; . Вижте математика / README - да се създаде сертификат) :. P = (\ сигма (п) - \ Фи (п)) / 4 - \ SQRT, Неуспешен анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; .. Виж математика / README - настройка Помощ): р = (\ сигма (п) - \ Фи (п)) / 4 + \ SQRT.

Знаейки п и или σ (п), или φ (п) (или знае р + р и или σ (п), или φ (п)), което лесно може да намери р и р.

През 1984 г. Хийт-Brown (Roger Хийт-Brown) доказа, че

Грешка при анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; Вижте математика / README - да се създаде сертификат): .. \ Sigma_0 (н) = \ sigma_0 (N + 1)

Той се среща безброй много пъти.

Комуникация с редове

Два реда от Дирихле. използващи разделители функция:

Грешка при анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; . Вижте математика / README - да се създаде помощ): \ сума _ ^ \ infty \ Фрак = \ зета (и) \ зета (а-а) ,.

Грешка при анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; . Вижте математика / README - да се създаде помощ): \ сума _ ^ \ infty \ Фрак = \ зета ^ 2 (а) ,.

Грешка при анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; . Вижте математика / README - да се създаде помощ): \ сума _ ^ \ infty \ Фрак = \ Фрак ..

Няколко Ламбърт. използващи разделители функция:

Грешка при анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; Вижте математика / README - да се създаде сертификат): .. \ Сума _ ^ \ infty р ^ п \ sigma_a (н) = \ сума _ ^ \ infty \ Фрак

Асимптотичната темп на растеж

В краткосрочен план. делител функция отговаря (вж. стр. 296 от книгата на Апостола # 91; # 6 93; )

за всички Неуспешен анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; Виж математика / README - да се създаде сертификат) :. \ Епсилон> 0, \ четири г (п) = о (п ^ \ епсилон) ..

Северин Wigert даде по-точна прогноза

Грешка при анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; Вижте математика / README - да се създаде сертификат) :. \ Limsup_ \ Фрак = \ log2 ..

Грешка при анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; Вижте математика / README - за определяне на референтните): .. \ Liminf_ г (н) = 2.

По отношение на О-голям. Дирихле показа, че средно на функцията, за делител удовлетворява следния израз (вж. Теорема 3.3 книга Апостол />)

за всички Неуспешен анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; . Виж математика / README - настройка сертификат): X \ geq1 \ sum_d (п) = х \ влизане х + (2 \ у-1) х + O (\ SQRT) ,.

където Неуспешен анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; Вижте математика / README - Setup Помощ) :. \ Gamma - постоянна Ойлер - Mascheroni ..

Предизвикателството да се подобри граничния Неуспешен анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; . Вижте математика / README - да се създаде сертификат) :. O (\ SQRT) в тази формула - това е проблем на Дирихле делители

Поведението на сигма функционира неравномерно. Асимптотичната растеж функция сигма може да се изрази с формулата:

Грешка при анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; Виж математика / README - да се създаде сертификат) :. \ Limsup_ \ Frac = д ^ \ гама ,.

Грешка при анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; . Вижте математика / README - да се създаде помощ): \ lim_ Фрак \ prod_ \ Фрак \.

= Е ^,

През 1915 г. Рамануджан доказа, че ако Хипотеза на Риман неравенство

Грешка при анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; Вижте математика / README - да се създаде сертификат) :. \ \ Sigma (н).

за всички достатъчно голям п # 91; # 8 93. През 1984 г. Гай Робин доказа, че неравенството притежава всички н ≥ 5041 единствено и само ако Риман хипотеза е вярна # 91, # 9, 93. Тази теорема Робин и неравенството стана известно, след като доказателството на теоремата. Най-известен брой нарушаване на неравенството - това е п = 5,040. Ако Риман хипотеза е вярна, тогава не номера по-големи от това и в нарушение на неравенството. Робин показа, че в случай на погрешна хипотеза, има безкрайно много числа п. нарушаване на неравенство, а е известно, че най-малката от цифрите н ≥ 5041 трябва да бъде sverhizbytochnym номер # 91, # 10 93. Доказано е, че неравенството притежава големи странни квадратни без номера, както и че Риман хипотеза е еквивалентно на неравенството за всички числа п. разделяне на пето-председател власт 91 # 11 # 93;

Грешка при анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; Вижте математика / README - да се създаде сертификат) :. \ Sigma (н) \ ле H_n + \ LN (H_n) д ^.

за всяко положително число п. където Неуспешен анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; . Вижте математика / README - да се създаде сертификат) :. H_n - н-ти хармонична номер # 91, # 12, 93;

Robin доказано, че неравенството

Грешка при анализ (изпълним файл texvc не може да бъде намерен; Вижте математика / README - да се създаде сертификат) :. \ \ Sigma (н).

е изпълнено за п ≥ 3 без никакви допълнителни условия.

Добавете преглед на статия "функцията делител" на

бележки

Свързани статии

• Най-големият общ делител на възела

• Преходна тироидна дисфункция

• Въпрос работник, извършващ функции стражът и Стокър, работещи по договор за