Законите на разпределение на дискретни случайни величини.
Сред законите за дискретни случайни величини най-често е биномно разпределение.
Нека в. инча X - брой на настъпване на събитие А в п идентични тестове, независим по отношение на събитие А. Да предположим, че вероятността за събитие А на всеки опит е постоянна и равна на р (A) = P (0
Където: X = m = 0; 1; 2; .... п - възможните стойности, които правят PGNS. В този случай, отношението:
Нека да намери израз за очакването на биномно разпределение.
Помислете за разширяването на Тригонометрия:
Разграничаваме последното равенство с р:
Умножаваме двете страни от р:
като (р + р) п -1 = 1, получаваме формулата:
По същия начин, ние получаваме израз за разсейването на биномно разпределение. Вторият формула за промяна могат да бъдат написани:
Ние диференцират вторично разширяване на биномно P:
Умножена по две р двете страни на това уравнение. Като се има предвид, че (р + р) = 1, получаваме:
От това, предвид факта, че (1-р) = Q, и че ще има биномно разпределение за М (X) = NP ,:
Най-вероятно броят на събитие (мод byuinomialnogo raspredelegniya) се определя от двойно неравенство:
Пример. В случайна променлива X - брой дефектни компоненти в проба от
п = 50 броя. Вероятност brvaka всеки детайл от р = 0.06. Виж М (X), D (X), (X), M0 брой дефектни части.
2. разпределението на Поасон.
Разпределението на Поасон може да се разглежда като ограничаване случай на биномно разпределение, където броят на проучвания н клони към безкрайност, докато се стремим към нула вероятност за възникване очаква в теста.
Задача. Нека по оста х случаен спад точка. Да приемем, че случайно разпределение на точките по тази ос отговаря на три условия:
1. Вероятността от удари точки К парчета от интервала на ограничен дължина L зависи от броя и дължината К etotgo интервал, с тази вероятност е пропорционален на дължината на този интервал и не зависи от неговата позиция на оста х;
2. посочва, попадащи върху оста независимо един от друг, вероятността за всяка точка падане на крайната дължина на сегмент не зависи от това къде друга падна точка;
3. Вероятността да ви удари малките елементарни otrezochek две или повече точки, с малка вероятност preenbrezhimo го излагайте на една точка.
Намерете вероятността сегмент OX дължина L на попада точно м точки.
случайна променлива Х - брой точки паднали върху сегмент L *-ос на. евентуалното му стойности: 0; 1; 2; ...; m; ... - брой може да бъде по-големи beskopechno.
Ние се намали проблема до схема, в която формула Бернули е приложима.
Razobom сегмент L в п части с еднаква дължина:
В началното сегмент, като условие 3, само една точка може да падне.
Нека вероятността за получаване една точка на един елементарен сегмент е: (условие 1), а след това - вероятността от инциденти една точка.
Ето: - коефициент на пропорционалност.
Хит или пропуска една точка във всеки елементарен сегмент е резултат от п независими проучвания. Вероятността, че п елементарен otrezochkov измежду m otrezochkov получава една точка изчислява чрез Бернули формула:
Prtblizhonnogo знак за равенство се дължи на факта, че този сегмент все още може да падне повече от една точка. За да се изключи тази възможност да продължим нататък, в зависимост от състоянието, 3 до краен предел, и по този начин.
Ето: - формула на Поасон.
Определяне на числени характеристики на разпределението на Поасон.
Очакването на разпределението на Поасон е: от тук можете да дадете на физическа интерпретация на разглеждания проблем параметър - средната плътност на брой точки (средният брой точки, които попадат на единица дължина на оста х). В резюме форма - средният брой на събития на единица мярка непрекъснат физически paprametra (това може да е дължина, време, концентрацията и др ...).
Дисперсията на разпределението на Поасон е равен на: (не). Така че, един от най-priznakolv присъствието на разпределението на Поасон е равенство:
Ние считаме, очакван брой обаждания в минута. Minute разговори плътност е: След очакваната стойност ще бъде: тази вероятност е равна на:
Разпределението на Поасон може да се използва като приближение за случая с биномно разпределение, ако последният, който може да бъде за много малък и голям. В тези случаи, Поасон формула очакването на разпределението на Поасон се заменя с очакването за биномно разпределение. В този случай, броят на очакваните събития, които не трябва да са големи.
Пример. Растението е преминал основата 500 бутилки водка. Вероятност счупване по време на транспортиране за всеки размер бутилка е 0.002. Каква е вероятността, че в основата 3 ще пристигне със счупена бутилка.
По този проблем, точното разпределение закона - биномно, но Бернули формула porakticheski на не са приложими поради големия брой на п = 500. Все пак, имайте предвид, че дисперсията е числено близо до тази стойност :. Номер - малък, така че да се реши проблема с помощта на формула Поасон:
Пример. Вероятност за производство на нестандартни части р = 0.004. Виж вероятността 5 между 1000 нестандартни части.
Ако приемем, че този вариант на формула Бернули, ние получаваме;
В случаите, където пит - голям брой и формули Бернули и Поасон не е приложимо, са приблизителни местно Лаплас формула:
Ето: - стандарт вероятност функция (Gaussian функция), дадени в таблицата. (Таблица 1 от приложението), си график е даден по-долу, виж фиг .. 6.Po местно уравнение Лаплас да се получи крайна например :. (Значителна разлика).
Свързани статии