Понятието основна последователност
В този момент, той е важен критерий за конвергентна последователност, а след това е необходимо и достатъчно условие за съществуването на крайните си лимит. Критерият за значимост и оригиналност е, че когато не е участвал в проверката на стойността на лимита. Формулировката на този критерий и концепцията за основната последователност се използва, когато се работи с него.
Определяне на основната последователност
Числен последователност, наречена основна последователност, ако отговаря на следните условия: за всеки брой има номер. че за всички и за всички неравенството
Това състояние се нарича състоянието Коши. Тя може да бъде написана, както следва:
А геометрична интерпретация на състоянието на Cauchy е, че членовете на основна последователност с достатъчно голям брой са произволно близо един до друг, тъй като разстоянието между две членове на последователността е по-малко от всеки малък брой. ако броят на членовете на повече от.
Теорема (Cauchy конвергенция последователност критерий)
За да има последователност границите на допустимите единствено и само ако то отговаря на условията, Коши, че е от основно значение.
Да предположим, че последователността е конвергентна и има за ограничение на броя. След това, по дефиниция, има краен срок, че
Ето защо, ако вземете и. на
това е, когато и. което означава, че основната последователност. По този начин, е доказано, че ако последователност клони, е от основно значение.
Да предположим сега, че последователността е от основно значение. Нека да докаже, че клони. Доказателството се извършва на два етапа.
Етап 1. Докажете, че е ограничен.
В действителност, според състоянието на Коши за, можете да посочите няколко. че неравенството и кога. По-специално, това неравенство трябва да бъдат изпълнени, за да. след това
т.е. част от последователността - брой е ограничен. Следователно, очевидно е, че е ограничен и всички основната последователност.
Етап 2. Според теоремата на Болцано Вайерщрас ограничена последователност
винаги можете да извлечете конвергентна последователност. така. къде и кога.
Ние сега показват, че броят е границата на всички основни последователности. Всъщност, за един и същ брой напише условието на Коши за:
Сега ние изберем последователност в брой, така че неравенството (това може да бъде направено по силата на факта, че в). След това състоянието на Коши, когато и ако имаме, че
,
т.е. въз основа на условията Cauchy събрани оценка на разликата между членовете на дялове на последователността и неговата конвергентна подпоследователност.
Това означава, че има ограничен срок основен последователност. т.е. skhoditsya.v
Пример (конвергенция доказателство последователност критерий Cauchy)
Използването на критерий Коши докаже конвергенция последователност. ако
достатъчно е да се покаже, че последователността е от основно значение, т.е. това условие vypolnyatesya Коши за него:
Имайте предвид, че това условие средства
и оценка за това:
След това, ние използваме, за да се оцени последния израз на явна неравнопоставеност
С всички тези прогнози, ние получаваме, че
Минавайки до границата в двете части на това неравенство за:
но ограничението от лявата страна на отрицателен не може да бъде, защото; така че остава да се заключи, че
Последователността е основен, следователно, клони.
5.5. Упражнения за самостоятелна работа
Запишете последователност. изберете конвергентна последователност от него, ако е ограничен, последователност или безкрайно голяма, ако неограничен:
Използването на критерия Коши докаже сближаването на последователности. ако:
.
Отговори на упражненията за самостоятелна работа
1) - ограничен, тъй като при
. . ;
3) - ограничено, тъй
;
;
4) - неограничен, но не безкрайно голяма
Свързани статии