Основните последователност, предимството
дефиниция
Последователността се нарича основно значение. ако отговаря на условието на Коши. за всеки съществува положително число такова, че за всеки и всяка неравенството. Накратко, това състояние може да се запише като :.
Ще дам един равностоен дефиниция. Последователността се нарича основно значение. ако за всеки съществува положително число такова, че за всеки и за всяко физическо неравенство. Накратко, това състояние може да се запише като :.
Ние доказваме, че основната последователност е ограничена. Да предположим, след това, в зависимост от състоянието на Cauchy съществува редица така, че за всички и за всички неравенството и по-специално. Тъй като за всички, за всички неравенството къде. Това означава, че - ограничена последователност.
Теорема (тест Коши е)
Последователността има краен срок, ако и само ако тя е от основно значение.
трябва
Да предположим, че последователността има ограничен срок. Поставихме го равни. По дефиниция, такова ограничение, че неравенството. Да предположим, че тогава. Да предположим, че тогава. По силата на сумата от модула (разликата), ние получаваме. Следователно, за всички и за всички неравенството, т.е.. Е., Състоянието на Cauchy.
достатъчност
Нека - основен последователност. Ние показваме, че има краен срок. По дефиниция основното неравенство последователност. Тъй като основната последователност е ограничена, на теоремата на Болцано-Вайерщрас. съдържа конвергентна последователност. Нека му граница е, м. F .. Ние показваме, че броят е границата на оригиналната последователност. По дефиниция, ограничението. , Да. Ние определи номер (съществува такъв брой, тъй като, когато). След това, когато и за всички неравенството. От това следва, че за всички неравенството :. т.е. ..
Докаже, че последователността се различава.
доказателства
необходимостта от:
Да предположим, че последователността има ограничен срок. Ние доказваме, че това е от основно значение.
Да предположим, че по дефиниция граница на последователност:
От произволно, тогава можем да заеме мястото му, например:
Така да се каже, което означава, че - по дефиниция фундаменталните.
Необходимостта е доказано.
достатъчност:
Нека - основен последователност. Ние показваме, че има краен срок. Първо ние показваме, че - ограничено.
Както - основна последователност, след това по дефиниция основната последователност:
и
От произволно, а след това ние приемаме
Да предположим, ние показваме, че броят долара на $ и ще ограничи цялата последователност:
Тъй като основното:
Тъй като сближаващо:
Вземете, тогава:
Нека да докажем, че последователността не е от основно значение.
Свързани статии