Иконометрия - Глава 3
3.2. Проблемът за изчисляване на параметрите на модела. Многовариантният метод най-малките квадрати
При оценката на параметрите на модела по метода на най-малките квадрати мярка за качеството (критерий качество) поберат емпирично регресия функцията на наблюдаваната проба е сумата от квадратите на грешки (остатъчните). Както се прилага за класическа мултивариантен метод линейна регресия се нарича обикновената (класически) едноетапен или многоизмерно метода на най-малките квадрати. Значението на най-малките квадрати критерий за случая на двойката линейна регресия обсъдени подробно в Глава 2, когато той беше даден графичен тълкуване. За съжаление, в многомерен случай (за к> 3), също така ясно графично представлява функция на регресия, както и че е невъзможно да се даде тълкуване на критерия.
Критерият на най-малките квадрати
Според (3.7) грешката на линейна регресия уравнение в I - та наблюдение може да бъде представена както следва:
и съответно, на квадрат Грешката е
Използването на израза (3.9), пишем критерия (целева функция) на най-малките квадрати в многомерен случая
или с помощта на вектори на матрица нотация, ние може да пише
където вектор, вектор.
Заключение на нормални уравнения
За да се покаже на системата за нормални уравнения, ние трансформираме израза (3.10) тест с помощта на правилата на операции с вектори и матрици (вж. Допълнението). получаваме
В получаването на (3.11) сме използвали равенството, че е така, тъй като стойностите на дясната и лявата страна на неговия - скаларна (S (б) - скаларна функция).
S функцията (б) (3.11) е квадратна форма на вектор б степен на. Неговата минимум параметри б съществува и се определя еднозначно от равнява на нула частични производни на S (б) на променлива BI. I = 1,2, ..., к.
Твърдението, че съществува минимум на функция S (В) и е уникално вярно, ако условията на различимост на линейни регресионни модели, т.е. хипотезите 7-9.
Използване на правилата на диференциация на скаларна функция на аргумент вектор, ние получаваме израз за производно на критерия на най-малките квадрати
тук - вектора - колона на величина к частични производни на обективната функция.
Минимумът на целевата функция се постига в точка б. отговарят на следната система от линейни уравнения написани форма вектор матрица
които са пропуснати за простота граници на сумиране над индекса I = 1,2, ..., п.
Разтвор на нормални уравнения под формата вектор матрица
Разтворът от нормалните уравнения в изрично форма (т.е. като формула за изчисление) е достъпно само под формата на вектор-матрица. Да разгледаме вектор матрица нотация от нормалните уравнения (3.13) на. Когато предпоставки 7-9 наблюдения регресор матрица X има пълен ранг квадратна матрица и (X T X) измерение (к х к) и има пълен ранг. Следователно, съществува обратна матрица (X T X) -1. Ние многократно отляво двете страни на (3.13) на тази матрица. получаваме
Освен това, тъй като (X T X) -1 (X T X) = Ik. където Ик - за самоличност матрицата измерение к. ние получаваме израз за оценките на коефициентите във формата на
Формула (3.15) определя оценка на най-малките квадрати коефициентите на мултивариантен линейна регресия.
Vector б. определена от (3.15) осигурява минимално функция S на (б) на формата (3.10). Действително, чрез изчисляване вторите производни на вектор функция б S на (Ь). Ние се получи. Матрицата X T X е неособена матрица симетричен (когато фона 8) и, следователно, положително определена, че е достатъчно за минимум на функция S (б).
Приблизително по метода на най-малките квадрати линейна регресия емпирична функция могат да бъдат написани като
където вектор б - оптимални най-малките квадрати оценка на вектора на регресия коефициентите е определено чрез експресия (3.15), XI = (xi1 xi2 xik ..) T - вектор - колона измерение к.
Получените регресионни коефициенти могат да се дават следното тълкуване. Очаквано (емпирично) регресионен коефициент BJ (J = 1,2, ..., к) е частна производна емпирично регресия функция J - ти регресор (независима променлива). Това показва колко много се промени на прогнозната стойност на к промяна - та регресор единица за фиксирани стойности на други ковариати.
грешки имоти (остатъчните) на модела
Експресия (3.16) за регресия функцията емпирично могат да бъдат написани като
Коефициентите на тази регресия може да се тълкува по следния начин: а) ако акциите се връща дружества В и С са равни на нула, се добив на акциите ще бъде средно с 3,3310% на година, което е равно на b 1 коефициентът; б) промяна при равни други условия в доходността на акциите B при 1% на година ще (средно) над акциите А на дружеството получи 1.088% годишно; в) промяна при равни други условия в рентабилността на С акциите на предприятието, с 1% на година ще (средно) до промяна на акции C Company получи 0.2146% годишно. При тълкуването трябва да се помни, че оценките на параметрите - приблизителни стойности и разчитат само приблизителни изявления могат да бъдат направени по тях.
Компанията за търговия има няколко клона. Ръководството на компанията обмисля откриването на друг клон. За да вземете информирано решение, което трябва да знаете като отделен клон от годишния оборот (ай млн. Разтрийте.) Зависи от площта за продажба (пл xi2 хил.. Метра) и средната дневна ставка на купувачите (xi3 хил. На ден). Таблица 3.2. показва числени стойности на тези променливи за дванадесет клона (данните от пример 2.2.).
Имайте предвид, че за разлика от предишния пример, че тези данни са пространствени. Те съответстват на оборота, продажбите зона и средният процент ежедневно поток от купувачи дванадесет клонове в дадена година. Фиг. 3.2a. 3.2б показва две разсейване диаграми, описващи зависимостта от оборота на търговски площи (фиг. 3.2a) и скоростта на потока на клиента (фиг. 3.2б). И двете графики, показващи приблизителните (макар и не толкова ясно, колкото в предишния пример) линейната зависимост между променливите. По-рано (виж пример 2.2 от глава 2 ...), Ние сме изградили два модела за изучаване на оборота, в зависимост от: а) пазарен площад; б) интензивност на трафика на клиентите.
Фиг. 3.2a. Диаграма "търговия - търговска зона"
Фиг. 3.2б. Диаграма "търговия - интензивност"
В този пример разследва оборот на зависимостта едновременно на два фактора - обяснителните променливи: продажба на площ и интензивност на трафика на клиентите. Математически това зависимостта на всяко наблюдение може да се изрази като множествена линейна регресия с две променливи с пояснителна (регресорите)
Свързани статии