(Съвет: Използвайте на резултатите, получени на страници 31 - 33.).
Рационални числа п р. които не могат да бъдат представени в
краен знака след десетичната запетая се разлагат в безкрайна десетична дроб от един обикновен прием "дълги" дивизия. На всеки етап от този процес протича остатък не е равно на нула, в противен случай би била крайната фракция. Различни срещащи се остатъци могат да бъдат само цели числа от 1 до р - 1, така че има само р - 1 възможности за стойностите на тези остатъци. Това означава, че след определен разделения р к остатъка ще бъде за втори път. Но след това всички от следните салда също ще се повтаря в същия ред, в който те са се появили след първата поява на к остатък. По този начин,
разширяването десетични на всяко рационално число има свойството да периодичност; след определен брой знака след десетичната запетая е една и съща група от знака след десетичната запетая започва да се повтаря безкрайно много пъти. Така например, на 1 юни = 0.166666666. ; 1 юли = .142857142857142857. ;
11 януари = 0.09090909. ; 1100 122 = ,1109090909. ; 11 90 = 0.122222222. и така нататък. д. (Забележка за рационални числа, които се появяват
като краен знак, че тази крайна част може да си представим, след последния десетичен знак безкрайно повтаряне цифрата 0, и по този начин, разгледана рационални числа не са изключени от това чрез общата формулировка.) Тези примери показват, че някои от знак разширения, съответстващи на рационални числа, периодична "опашка" се предхожда от не-периодична "глава".
Обратно, може да се докаже, че всички периодични фракции са рационални числа. Да разгледаме например безкрайна периодична фракция
Ние може да пише: р = 100 + 33 · 10 -3 2 (1 + 10 -1 + 10 -2 +.). изразяване в
§ 2NESOIZMERIMYE сегменти. Ирационално число, PREDELY93
В най-общия случай доказателството е изграден по същия начин, но е трудно да се въведе необходимостта от по-тромаво нотация. Да разгледаме периодично част от общата форма
р = 0, 1 2 А м 3. В 1 б 2 б 3. б п б 1 б 2 б п 3. б.
Означаваме В = 0, Ь 1 б 2 б б п 3. периодично част от нашето разлагане. Тогава можем да запишем
р = 0, 1 2 А М + 3. 10 -m B (1 + -N + 10 10 10 2К + -3n +.).
Експресията в скоби - безкрайната геометрична прогресия, за които р = 10 -N. Размерът на тази прогресия, съгласно формула (10) predy-
duschego точка е равна на 1 - 10 -н. и защото
10 -m · Б р = 0, 1 2 а + m на 3. 1 - 10 -п.
Упражнения. 1) Разпространение на десетични дроби след рационални числа: 11 1. 13 1. 13 2. 13 3. 17 1. 17 2. разширения и определят периоди.
2) Брой 142857 има свойството, че когато се умножава с 2, 3, 4, 5 или 6, в него се извършват само пермутация на номера. Обяснете този имот се основава на разлагането от 1 юли в десетичен.
3) да номерата, дадени в упражнение 1 в безкрайни фракции с бази 5, 7 и 12.
4) Разтвори на броя 1 3 в двоичен фракция.
5) Добави разлагане на 0.11212121. Определете кой номер е на 3 или 5 бази.
5. обща дефиниция на ирационално номера от заразяване сегментите. . На страница 82, въведохме предварително определяне на "номер" е краен или безкраен десетични. Ние се съгласихме с до десетичните, които не са от най-рационални числа, ирационални числа, за да се обаждат. Въз основа на резултатите, получени в предходната точка, сега ние можем да предложим следната формулировка: "числова континуум, или системата на реалните числа (" "са противопоставени номера тук" реални въображаем "или" комплекс ", виж § 5.) е колекция от най-различни безкраен десетични дроби. " (Чрез определяне нули,
Математически система номер
Тя може, както вече беше отбелязано, крайният десетичен запис
под формата на един безкраен, или има и друг начин: последната цифра на част от тях е заменена с - 1 и приписват го безброй деветки. Така че, ние сме виждали, например, 0,999. = 1 - виж раздел 3.) ..
Рационални числа са периодични фракция; ирационално номера не са периодични фракция. Но това определение не е напълно задоволително: в действителност, ние видяхме в глава I, че десетичната система от естеството на нещата, нищо особено се откроява от другите възможни; по същия начин, един ще действа, например, двоична система. Поради тази причина е много желателно да се осигури по-обща дефиниция на континуум, независимо от конкретния избор на основата на 10 или всеки друг. Може би най-простият метод за въвеждане като обобщение е
Помислете за реалната ос на последователност от I 1. 2. 3. Аз съм п. сегменти с рационални краища; предположи, че следващия сегмент се съдържа в предишния и че дължината на п-ия интервал I н клони към нула с увеличаване н. Такава последователност на "гнездова" едно в други сегменти ще се нарича договаряне последователност от сегменти. В случай на десетични интервали, равни на дължината I н 10-N. но със същия успех би могъл да бъде, да речем, 2-N. или можем да се ограничи поне
изискването, че тя да бъде по-малко от п 1. Сега ние даваме следното
текстът на което ще се разглежда като основна геометрична постулат каквото договаряне последователност от сегменти, има една и само една точка на реалната ос, която също присъства във всички сегменти. (Ясно е, че има не повече от една точка, като дължините на сегментите клонят към нула, и две различни гледни точки не може да се съдържа в интервал, чиято дължина ще бъде по-малко от разстоянието между точките.) Тази точка е по дефиниция, и Той нарече реално число; ако това не е рационално, тя се нарича ирационално число. С такова определение, ние си поставихме за кореспонденцията между точки и цифри. Това не е добавянето на нещо наистина ново: просто като определението на безкрайна десетична дроб по-обща форма на зестра.
Но в този момент читателят може да обхване някои съмнения, които трябва да бъдат признати като основателно. Какво всъщност е, че "точка" на реалната ос, която ние приемаме, се съдържа едновременно във всички сегменти на възложителя последователност, ако тя не отговаря на рационално число? Нашият отговор е съществуването на реалната ос
§ 2NESOIZMERIMYE сегменти. Ирационално число, PREDELY95
Фиг. 11. свиваеми сегменти. границите на последователности
(Отчетено е като геометрични изображения) термини, които се съдържат във всички договарящи се сегменти с рационални крайни точки, има основна геометрична постулат. Не е необходимо да се направи намаление, го доведе до други математически твърдения. Ние го взема както е приета във математика други аксиоми или постулати, на базата на своя интуитивен правдоподобност и нейната полезност, намерени при изграждането на съгласувана система от математически твърдения. Формално бихме могли да се придвижат от реалната линия, която да се мисли като колекция от само някои рационални точки, а след това се определя като точката на ирационално
символ обозначаващ последователност на монтажна сегменти. Нерационално точка е напълно определя от последователността на рационални монтажна сегменти, чиито дължини са склонни към нула. Така че нашата основна постулат е в състояние действително да служи като дефиниция. Приемете това определение, след като са били намалени до поредица от договарящите сегменти силно развита интуиция, като твърди, "съществуването на" ирационален момент - след това пуснете "патерици интуиция", на която се позовава нашите разсъждения и да осъзнаем, че всички математически свойства на ирационални точки могат да бъдат разбрани и замислен като свойства последователности възлагащите сегменти.
От чисто математическа гледна точка в този случай важно от е фактът, че с приемането на определението на ирационално номера като
Свързани статии