Задача 47. отделение 10 стрелците, включително 3 различни 5 и 2 посредствен качество. Известно е, че вероятността от удари целевата Sharp стрелец - 0.9 добре - 0.8, и изпичане задоволително - 0.6. Повреда, причинена от случаен стрелка, за да произведе изстрела пред вратата. Каква е вероятността да улучи мишената, че стрелецът?
Нека събитие - стрели да достигне целта. Хипотеза: H1 - отличен стрелец; H2 - добър стрелец; H3 - посредствен шутър. Вероятността тези хипотези са, както следва :; ; ,
Условна вероятност да поразят целта от тези хипотези са:
След това, в съответствие с формулата на общата вероятност, необходимата вероятността от удари целта е равна на
Решение. В съответствие с формула Бейс. вероятността на хипотезата след изпитването е продукт на вероятността на хипотезата за тестване на условната вероятност на събитие на тази хипотеза, разделен на общия вероятността на събитието:
В нашия проблем, събитие - стрели да достигне целта; Хипотеза H1 - уволнен отличен стрелец; H2 - добър изстрел на стрелките; H3 - стрелна с посредствен шутър.
А априори [1] (doopytnye) хипотези вероятности, ние знаем: P (H1) = 0.3; P (Н2) = 0.5; Р (H3) = 0.2. Условна вероятност на удари целта на тези хипотези са: P (A / H1) = 0.9; P (A / Н2) = 0.8; P (A / H3) = 0.6. Общият вероятността от удари целевата P (A) = 0.79.
След последващо [2] (posleopytnye) хипотези вероятности ще бъдат равни на
Имайте предвид, че сумата от вероятностите на хипотези след изпитването е винаги един. За нашия пример.
Задача 49. поникването на семената на растенията е 90%. Намерете вероятността пет засяват семената покълнат: а) четири; б) не по-малко от четири.
Решение. Ние използваме формулата на Бернули. Ако P е независими проучвания, във всеки от които вероятността за събитие е постоянна и равна на R и вероятността от противоположния случай е Q = 1-P. вероятността P (т), че, когато това събитие А се извършва точно време Т, се изчислява по формулата
Когато има редица комбинации от п елементи на Т.
А) Според проблем вероятност поникване Р = 0,9; тогава Q = 0,1; в този случай п = 5, Т = 4. Заместването на тези данни във формулата Бернули (1), получаваме
В) изисква събитие е, че изкачване или четири, или пет от пет семена, засети. По този начин, P (A) = P 5 (4) + Р5 (5). Първият план вече е открит. За да се изчисли втория отново се прилага уравнение (1):
Проблем 50. вероятността за събитие във всеки от теста 625 е 0.64. Намерете вероятността събитие А ще се случи точно 415 пъти в тези проучвания.
Решение. Ако броят на опитите п е цяло, след прилагането на формула Бернули води до тромаво изчисления. С помощта на тази формула, той става практически невъзможно. В такива случаи, формулата за приближение се използва, който изразява същността на местното Лаплас теорема.
Ако вероятността за събитие А във всяка от п независими изпитвания е постоянна и равна на Р (Р е различен от нула и единица), а броят п е достатъчно голям, вероятността P (т), че едно събитие А настъпва м пъти (без значение в тези проучвания, в каква последователност) се изчислява приблизително по формулата
Има готов таблица на стойностите на J (х) (вж. Таблица. 1, Приложение).
За X> 5 вярваме, че J (х) "0. Тъй J функция (х) е още, тогава J (-x) = J (х). Чрез проблеми хипотеза P = 625, Т = 415, Р = 0,64. Ние считаме, Q = 1-0,64 = 036. Ние се определи стойността на X в данните:
Според таблица. 1, ние откриваме, че J (1,25) = 0,1826. Заместването на тази стойност в (2), получаваме
Задача 51. 0,04% плевели включват ръж семена. Каква е вероятността на принципа на случайния подбор от 5000 семена за откриване на плевелни семена 5?
Решение. Използването на асимптотичната формули (2) за случая, когато вероятност р е близо до нула, води до значително отклонение от точната стойност на Р (т). За малки стойности на Р (за малки стойности на Q) прилага Поасон асимптотична формула.
Ако вероятността за събитие А във всяка от п независими проучвания малък и броя на опитите п е достатъчно голям, вероятността, че едно събитие А настъпва време Т, се изчислява приблизително по формулата
Формула (3) се използва в случаите, когато L £ 10. Колкото по-голям брой и по-малко п брой R. по-точен резултат от тази формула. Чрез проблеми хипотеза Р = 5,000, Т = 5, Р = 0.0004. След L = 5000.0,0004 = 2. Чрез прилагане (3), получаваме
Задача 52. Вероятността от удари цел с един изстрел е 0.6. Намерете вероятността, че броя на посещенията за 600 изстрела ще бъде сключено в диапазона от 330-375.
Решение. Формула Бернули, Поасон, асимптотичната формула (2), който изразява същността на местната Лаплас теорема ни позволи да се намери вероятността от събитие точно м пъти в п независими проучвания. В практиката често е необходимо да се определи вероятността събитие А има най-малко веднъж Т1 и Т2 течение на времето т. Е. броя на Т дефинирани неравенства Т1 £ £ T Т2. В такива случаи, използвайте Лаплас теорема.
Ако вероятността за събитие А във всяка от п независими изпитвания, е постоянна и е равна на F (F е различна от нула и единица) и номер н е достатъчно голяма, вероятността, че едно събитие А и на тези тестове е не по-малко от времето за Т1 и не повече от Т2 пъти Тя се изчислява приблизително по формулата
Има стойности на масата за функция (вж. Таблица. Приложение 2). F (х) е функцията на Лаплас. Това е странно функция, т.е. F (-x) = - .. F (х). Ето защо, една маса от стойности се дава само за положителните числа. функция F В (х) е монотонно половина. Когато X увеличава неопределено функционират F (х) се потърси до 0.5. Ако използвате готови стойности на функцията на Лаплас, формулата (4) може да се запише като:
Съгласно Таблица 2, ние откриваме, F (1,25) = 0.3944; F (2,5) = - F (2,5) = - 0,4938. Заместването на тези стойности в (5), се получи необходимото вероятността:
Задача 53. случайна променлива X има нормално разпределение. Очакванията на М (X) = 5; дисперсия D (X) = 0,64. Намерете вероятността, че в резултат на тестовете ще отнеме стойност в интервала (4,7).
Решение. Ако случайна променлива X е избран диференциална функция F (X). вероятността, че X приема стойността принадлежащи на интервала (А, В), изчислено по формулата
Ако стойността на X има нормално разпределение, а след това
Когато А = М (X). Чрез хипотеза, S = 5 ,, А = 4 и В = 7. Заместването на тези данни в (6), получаваме
Задача 54. Смята се, че дължината на отклонение от стандарта на произведените части е разпределена случайна променлива обикновено. Стандартни дължина (очакване) А = 40 cm, стандартното отклонение S = 0,4 см. Вижте вероятност, че отклонението от стандартната дължина ще бъде абсолютната стойност на не повече от 0.6 cm.
Решение. Ако X - дължината на елементите, тогава състоянието на проблема, тази стойност трябва да бъде в диапазона от (A-D, и + D), където А = 40 и D = 0,6. Заместването с формула (6) = а-D и В = а + D. получаваме
Замествайки в (7) наличните данни, ние получаваме
Така че, вероятността, че детайлите по производството на дължина ще бъде в диапазона от 39,4 до 40.6 cm е 0.8664.
Свързани статии