1. Обучение на класификацията на частни диференциални уравнения
2. Да се научим да доведе до канонична форма частни диференциални уравнения.
С промяната на променливите от второто уравнение ред
намалява до едно просто уравнение. Ако приемем, че съотношението ще се въведе нови независими променливи и къде са произволни, но различен (в противен случай няма да бъде взаимно независими функции) номер. като
След това има съвпадение
Ние размножават вторите производни съответно и 2b и след това, и техния състав. След лявата страна на уравнение (2.1) има формата:
Помислете сега спомагателни квадратно уравнение Неговите корени са в зависимост от дискриминантен стойност може да бъде три случая:
1) Ако в областта, че уравнение (2.1) е на хиперболичен тип;
2) Ако уравнение (2.1) параболичен;
3) Ако уравнението (2.1) принадлежи към елипсовидна тип.
диференциално уравнение (2.2) се нарича уравнение на характеристиките на уравнение
След определяне на вида на диференциално уравнение се привежда в канонична форма чрез преобразуване на независимата променлива ()
За трансформацията (2.3) е необходимо да се характеристиките на уравнение (2.2), която може да бъде представена както следва:
В резултат на това, разтворът на уравнения (2.5) получаваме общите интеграли чиито лявата страни са дадени от (2,4), в резултат на уравнение (2.3), за да каноничната форма.
Разтворът на характеристика уравнение (2.2) зависи от решаващи стойности.
Във връзка с това превръщане формула (2.4) за всеки от трите вида уравнения са както следва:
1 - хиперболичен тип. Разтворът на (2.5) дава две валиден обща неделима:
Чрез приравняване левите страни на общите интеграли (2.6) нови независими променливи. , Ние се получи формула трансформация:
2. - параболичен тип. Системата (2.5) намалява уравнението :. решаването на които дава един реален неразделна чести:
Формулите на трансформация (2.4) в този случай да бъдат написани, както следва:
където - всяка функция, независимо от (условие трябва да бъде изпълнено :)
Забележка. изберете или
3. - елипсовидна тип. Разтворът на (2,5) има две комплекс конюгат обща неделима:
Формулите на трансформация могат да бъдат получени, както следва:
При извършване на прехода към новите променливи, неизвестната функция помисли сложна функция на. , след това
Заместването на стойностите на производни в уравнение (2.3) дава уравнение счита канонична форма.
Най-канонична форма на хиперболичен уравнения е от вида:
На каноничната форма на уравнението на параболичен тип е:
- високата производно може да бъде -.
В каноничен формата на елипсовидна уравнение е както следва:
Пример 1. Доведе до уравнението на каноничната форма
Rozv'yazannya. Тук. , , otzhe, rіvnyannya nalezhit да gіperbolichnogo тип. Sklademo rіvnyannya характеристики. В tsomu vipadku rіvnyannya характеристики rozpadaєtsya две zvichaynih diferentsіalnih rіvnyannya ред Perche, Scho са написани на diferentsіalah:
Zagalnі іntegrali Tsikh rіvnyan znahodyatsya bezposerednіm іntegruvannyam аз mozhut Бути zapisanі в Taqiy sposіb:
Otzhe, Формула peretvorennya площад peremіnnih Scho водещ Pochatkova rіvnyannya kanonіchnogo на ум ще бъде:
Zvіdki Peretvorimo Pochatkova rіvnyannya да zmіnnih. , За tsogo obchislimo :. , , , ,
Свързани статии