Разглеждане на вектор V с начална точка в основата на всяка координатна система X-Y с крайна точка (а, Ь). Ние казваме, че векторът е в нормално положение и се отнасят до него, тъй като вектор радиус. Имайте предвид, че един чифт точки определя вектора. По този начин, можем да го използваме за означаване на вектора. За да се подчертае, че ние имаме предвид вектор, и да се избегне объркване, като правило, пише:
V =.
Координатната има хоризонтални компоненти скаларни на вектора, и координира В е скаларни вертикални векторни компоненти. Под скаларни имаме предвид цифров номер, не векторна величина. По този начин, се счита като компонент форма на об. Имайте предвид, че А и Б са вектори, и те не трябва да се бърка с определението за компонент вектор.
Сега помисли с A = (х1. Y1) и С = (х2. Y2). Нека да разгледаме как да се намери радиус вектор еквивалент. Както можете да видите на фигурата по-долу, първоначалната точка А се премества в произхода (0, 0). P координати са координати чрез изваждане А от координатите на В. По този начин, Р = (х2 -. X1 y2 - Y1) и вектор радиус.
Може да се покаже, че и имат същата големина и посока и следователно еквивалент. Така =.
Пример 1 Търсене на компонент, ако образуват С = (4 - - 3), и F = (1, 5).
Ние имаме решение
=.
Имайте предвид, че векторът е равен на вектора на радиус, както е показано на фигурата по-горе.
Сега, когато знаем как да напишете вектор в компонент форма, нека представим някои дефиниции.
Дължината на вектора V е лесно да се определи кога е известно, векторни компоненти. За V =. имаме
| V | = V 2 + V 01 февруари 2 2Ispolzuya Питагоровата теорема
| V | = √ срещу 02 Януари + на V2 на февруари.
Дължина. или размера на vetktora V = намерен както | V | = √ срещу 02 Януари + на V2 на февруари.
Две вектори са равни или еквивалентни, ако имат същата големина и съща посока.
Операции с вектори
За да умножите вектор V е положително число, умножим дължината от този номер. Нейната посока остава същата. Когато вектор V се умножава по 2, например, дължината му е удвоен, но не променя посоката си. Когато векторът се умножава по 1.6, дължината му се увеличава с 60%, и посоката е същото. За да умножите вектор V на отрицателен реален брой, умножете дължина от този номер и посоката си. Например, когато векторът се умножава с (-2), дължината му се удвоява и посоката е обратна. Тъй като реални числа действат като скаларни мултипликатори в размножаването на вектори, ние ги наричаме и скаларно произведение кв нарича скаларни кратни на ст.
За реално число к, и вектор V = на. скаларен продукт на к и V е
кв = к. =.
Вектор кв е скаларна кратно на вектор V. В
Пример 2 Нека U = и W =. Намери - седемw, 3U и - еднаw
Сега можем да добавим два вектора, като се използват компоненти. За добавяне на два вектора в компонент форма, добавяме съответните компоненти. Нека и = и V =. след това
ф + V =
Например, ако V = ф w =. след това
V + w = =
Ако ф = и V =. след това
U + V =.
Преди да се определи изваждане на вектори, че трябва да се определи - с. Срещу вектор V = на. Изображението по-долу, има
- V = (- 1) .v = (- 1) =
Изваждане на вектори, такива като U - V включва изваждане на съответните компоненти. Ние показваме това представителство ф - о, как ф + (- о). Ако ф = и V =. след това
ф - V = ф + (- о) = + = =
Можем да илюстрираме изваждане на вектори, с помощта на един успоредник. както направихме за добавяне на вектори.
изваждане на вектори
Ако ф = и V =. след това
ф - V =.
Интересно е да се сравнят сумата на два вектора с една и съща разликата от два вектора в успоредник. Векторите ф + V и U - V е диагонала на успоредник.
Пример 3 Направете следното изчисление, и където U = V =.
а) ф + V
б) ф - 6v
в) 3U + 4v
г) | 5 V - 2u |
решение
а) ф + о = + = =;
б) ф - 6V = - 6. = - =;
в) 3U + = 4V 3. + 4. = + =;
г) | 5 V - 2u | = | 5. - 2. | = | - | = | | = √ (- 29) 2 + 21 2 = √ 1282 ≈ 35,8
Преди формулирането на свойствата на вектор събиране и умножение, ние трябва да се определи друг специален вектор - вектор нула. Векторът чиято начална точка съвпада с крайната точка се нарича нулев вектор. означава О или. Неговата стойност е равна на 0. Добавянето на вектори:
V + O = об. + =
Манипулиране на вектори проявяват същите свойства като операциите по реални числа.
Свойствата на вектор събиране и умножение
За всички вектори U, V и W, както и за всички Scalars В и С:
1. U + V = V + ф.
2. ф + (V + w) = (U + V) + w
3. V + O = об.
4 1.v = V; 0.v = О.
5. V + (- о) = О.
6. б (CV) = (бв) о.
7. (б + в) V = BV + CV.
8. б (U + V) = бу + BV.
Големината на вектор или дължина 1 се нарича единичен вектор. Векторът V = Ort там, защото
| V | = | | = √ (- 3/5) + 2 (4/5) 2 = √ 9/25 + 16/25 = √ 25/25 = √ 1 = 1.
Пример 4. Намиране на единичен вектор, който има същата посока, както вектор w =.
Решение Първо намираме дължината на w:
| W | = √ (- 3) 2 5 2 = √ 34. По този начин, ние търсим вектор на дължина 1 / √ от 34 w и със същата посока като вектор W на. Този вектор е
U = w / √ 34 = / √ = 34.
вектор ф е вектор единица, защото
| U | = | W / √ 34 | = = √ 9/34 + 25/34 = √ 34/34 = √ 1 = 1.
Ако V е вектор, и V ≠ О, тогава
(/ 1 | о |) • V, или об / | V |,
има единичен вектор по посока на об.
Въпреки векторите могат да имат всяка посока, векторите на единични успоредни на осите х и у са особено полезни. Те са определени като
I = и J =.
Всеки вектор може да бъде изразена като линейна комбинация от I на единичен вектор и к. Например, нека V =. Togda
V = = + = v1 + v2 = v1 I + v2 й.
Пример 5 г = Express вектор като линейна комбинация от I и к.
решение
R = = 2i + (- 6) J = 2i - 6j.
ПРИМЕР 6 Запишете вектор р = - I + 7й в компонент форма.
Разтвор Q = - I + 7й = -1i + = 7й
операции вектор може също така да се провеждат при написано като линейни вектори I и J.
Пример 7 Ако = 5i - 2й и б = -i + 8й, се 3а - б.
решение
3а - б = 3 (5i - 2й) - (- I + 8й) = 15i - 6j + I - 8й = 16i - 14й.
ъгли на видимост
Крайна точка Р вектори в стандартната позиция е точка на кръга на единица определя от (cosθ, sinθ). Така вектор единица може да се изрази в компонент форма,
ф =,
или като линейна комбинация от I на единичен вектор и к,
ф = (cosθ) I + (sinθ) J,
където компонентите на ф е функция на изследване ъгъл θ измерва обратно на часовниковата стрелка от оста х на този вектор. Както θ варира от 0 до 2π, Р точка монитори кръг х 2 + Y 2 = 1. Той обхваща всички възможни посоки на векторите на дялове, а след това и = (cosθ) уравнение I + (sinθ) й описва всяка възможна единичен вектор в равнината.
Пример 8: Изчислява се и се скица на единичен вектор ф = (cosθ) и + (sinθ) й за θ = 2π / 3. Начертайте единичната окръжност в скицата.
решение
U = (COS (2π / 3)) и + (син (2π / 3)) J = (- 1/2) и + (√ 3/2) й
Нека V = θ един ъгъл на гледане. Използването на определението на функцията тангента, ние може да се определи тяхната компонент ъгъл V:
Пример 9 Определяне на ъгъла гледане θ на вектора w = - 4и - 3j.
Solution Ние знаем, че
w = - 4и - 3J =.
По този начин, ние имаме
tanθ = (- 3) / (- 4) = 3/4 и θ = тен - 1 (3/4).
Тъй като w е в третия квадрант, ние знаем, че има ъгъл θ на третия квадрант. Съответстваща ъгъл е
тен - 1 (3/4) ≈ 37 °, и θ ≈ 180 ° + 37 °, или 217 °.
Ъглите между векторите
Когато вектор се умножава по скаларна, резултатът е вектор. Когато двата вектора, резултатът е също прибавя вектор. По този начин, можем да очакваме, че продуктът на два вектора е вектор, но това не е така. Скаларната продукт на два вектора е реално число или скаларна. Този резултат е полезно в намирането на ъгъла между двата вектора и определяне дали два вектора перпендикулярно.
продукт точка на два вектора и U = V = е
ф • V = u1 + u2 .v1 .v2
(Имайте предвид, че u1 v1 + u2 v2 е скаларна. Вместо вектор.)
Пример 10 Виж вътрешната продукт, когато
U =. и V = w =.
а) ф • w
б) w • о
решение
а) ф • w = 2 (- 3) + (- 5) = 1 - 6-5 = - 11;
б) w • V = (- 3) 0 + 1 (4) = 0 + 4 = 4.
В скаларен продукт може да се използва за определяне на ъгъла между два вектора. Ъгълът между двата вектора е най-малкото положително ъгълът, образуван от двете насочени сегменти. Така θ между U и V е същия ъгъл като че между U и V, и 0 ≤ θ ≤ π.
Ако θ е ъгълът между две ненулеви вектори U и V, тогава
cosθ = (ф • х) / | ф о || |.
Пример 11: намери ъгъла между и U = V =.
Решение Нека започнем с намирането на ф • о, | ф | и | V |:
ф • V = 3 (- 4) + 7 (2) = 2,
| U | = √ 3 2 + 7 2 = √ 58. и
| V | = √ (- 4) 2 + 2 2 = √ 20.
Togda
cosα = (ф • х) / | ф о || | = 2 / √ 58 .√ 20
а = COS - 1 (2 / √ 58 .√ 20)
α ≈ 86,6 °.
баланса на силите
Когато няколко сили действат върху една и съща точка на обекта, тяхната векторна сума трябва да бъде равна на нула, така че е баланс. Когато е налице баланс на силите, обектът е неподвижен или се движат в права линия, без ускорение. Фактът, че вектор сумата трябва да бъде нула изход за баланса, и напротив, ни позволява да се реши много приложни проблеми, свързани с правомощия.
Пример 12 Спиране единица 350- паунд единица се суспендира с помощта на два кабела. наляво. В точка А, има три сили, действащи като: W единица изтегля надолу, и R и S (две кабели) е изтеглен нагоре и навън. Намери натоварването на всеки кабел.
Решение Начертайте диаграма с началните точки на всеки вектор в началото на kooordinat. За баланс, сумата от векторите трябва да е равна на около:
R + S + W = О.
Ние можем да експресират всеки вектор чрез своята сила и ъгъл:
R = | R | [(cos125 °) и + (sin125 °) й],
S = | S | [(cos37 °) и + (sin37 °) й], и
W = | W | [(cos270 °) и + (sin270 °) й]
= 350 (cos270 °) и + 350 (sin270 °) й
= -350j cos270 ° = 0; sin270 ° = - 1.
Чрез заместване на R, S и W в R + S + W + О, ние имаме
[| R | (cos125 °) + | S | (cos37 °)] I + [| R | (sin125 °) + | S | (sin37 °) - 350] J = 0I + 0j.
Това ни дава система от уравнения:
| R | (cos125 °) + | S | (cos37 °) = 0,
| R | (sin125 °) + | S | (sin37 °) - 350 = 0.
Решаването на тази система, ние получаваме
| R | ≈ 280 и | S | ≈ 201.
По този начин, кабели 280 паунда и 201 паунда натоварване.
Свързани статии