Определение 14. Нека # 151; набор и # 151; алгебра на нейните подгрупи. Функцията се нарича мярка за, ако отговаря на следните условия:
(1) за всеки комплект е неотрицателно :;
(2) за всяко изброимо множество несвързани комплекти (т.е. такава, че за всички), мярката на техния съюз е равна на сумата от техните действия:
( "Countable адитивност" или "сигма-добавка" мерки).
Да предположим, # 151; множеството от всички подгрупи. Ние определяме мярка за това: ,,,,,,,. За краткост, ние вместо да напише навсякъде.
Да предположим, # 151; множеството от всички подгрупи на естествените числа. Ние определяме мярка по пътя: # 151; на броя на елементите в комплекта (или безкрайност, ако телевизорът не е на финала).
ПРИМЕР 16 (Lebesgue мярка (1)). Когато говорихме за геометрична вероятност, ние използвахме понятието "мярка в областта", позовавайки се на "дължината" на "зоната" на линията на самолета, "обем" в триизмерното пространство. Дали всички тези "дължина квадратни обем" на настоящите мерки по смисъла на 14. Ние ще решите този проблем за права, оставяйки равнината и в пространството на по-високо измерение на читателя.
Помислете за недвижими линия с алгебрата на Borel комплекти. Това алгебра, по дефиниция, е най-малката алгебра, съдържащ всички интервали. За всеки интервал, броят ще се нарича дължина слот.
Ние няма да се докаже следното изявление:
Лема 1. Съществува уникална мярка за стойността на които по всяко интервал, равен на дължината му :. Тази мярка се нарича Lebesgue мярка.
Забележка 7. Това е следствие от теоремата на Carathéodory (2), за да продължите алгебра мерки за алгебра, както е подадена молбата. Използването Lebesgue продължаване на процедурата (попълване) на мярката, мярката може да бъде удължен за по-широк, отколкото алгебра Борел, # 151; по алгебра на Lebesgue измерими комплекти. Достатъчно е да се възлага мярка нула подгрупи на Борел определя на нула Lebesgue мярка.
Ще се нуждаем от имот, който има някаква мярка. Тази приемственост в действията понякога се нарича аксиома на приемственост. като се има предвид, че той може да бъде заменен от (2) в дефиницията на 14.
Лема 2 (непрекъснатост етапа). При един намаляване последователност на вложени подгрупи на такова, че и. След това.
Доказателство. Означават пръстен :. Комплекти ,,, са разединени. След това, от представителствата
от аксиома (2), че
Първата сума с оглед на състоянието е сумата от абсолютно конвергентна серия (състоящ се от не-отрицателни условия). От сближаването на тази серия, то следва, че "опашка" от няколко равни, клони към нула. следователно
Полезността на тази функция е лесно да се направи упражнение.
Използването на аксиомата на мерки за непрекъсваемост за комплекта, да докаже, че Lebesgue мярка за Сингълтън подмножество на недвижими линия е нула :. С помощта на този факт, за да докаже, че ,,,.
Забележка. При липса на предположения (или за някои), принуждавайки мерки вложени набор бъде ограничено, имотът не може да се извърши.
Например, ние се определи мярка за това: ако не повече от изброимо, така или иначе. Тогава наборите имаме:
И накрая, ние сме в състояние да дефинират понятието за вероятност.
Определение 15. Нека # 151; настроен и # 151; алгебра на нейните подгрупи. Мярка се нарича нормализирана кога. Друго име нормализирана мярка # 151; вероятност или вероятност мярката за.
Същото се отново в подробности:
Определение 16. Нека # 151; пространството на елементарните събития, # 151; алгебра на подгрупи (събития). Вероятността да мярка е функция със следните свойства:
(Р1) за всеки случай, неравенството;
(Р2) за всяко изброимо множество от взаимно изключващи се събития имаме равенство
(P3) вероятността на дадено събитие е равен на една :.
Информацията (Р1) # 151; (P3) се нарича аксиоми на вероятност.
17. Определяне на Тройката, която # 151; пространството на елементарните събития, # 151; алгебра на подгрупи и # 151; вероятност мярка за се нарича вероятност пространство.
Ние доказваме свойства вероятности, които произтичат от аксиоми. По-долу няма да има време да се преговаря, но нека да помним, че ние се занимаваме само със събитията.
Доказателство. Събития къде са несъвместими, и техния съюз също е празна. Чрез Аксиома (Р2).
Това е възможно само в случай.
Аксиома бройна вероятност адитивност (Р2) особено вярно за ограничен набор от взаимно изключващи събития.
Property 1. За всяко крайно множество от взаимно изключващи се събития имаме равенство
Доказателство. Сложете във всяка. Вероятността тези събития върху имота 0, нула. Събитията, които са по двойки взаимно изключващи се, и аксиома (Р2).
Няколко последици могат да бъдат получени от този имот.
Имоти 2. За всеки случай се извършва :.
Доказателство. Тъй като събития и непоследователна, и от аксиомата (P3) и да получат свойства 1.
Имоти 3. Ако тогава.
Доказателство. Представени като обединение на две взаимно изключващи се събития :. Според имот 1.
Веднага, ние се отбележи, че аксиома (Р1) експресията в дясната ръка е по-голямо от или равно на това доказва следния монотонност собственост на вероятност.
Имоти 4. Ако тогава.
Имоти 5. За всеки случай се извършва :.
Доказателство. за (Р1). И оттогава.
6. Винаги собственост.
Доказателство. Ние имаме, следователно, от имот 3 Но, с и непоследователна. Отново с помощта на имота 1, получаваме:
От тази собственост и аксиоми (Р1), последвано от две полезни свойства. 8 доказва собственост четец 7 с имота.
7. Винаги собственост.
Имоти 8. Винаги е.
Следващата Имотът се нарича принципа на включване-изключване. Това е много полезно, когато се изчисли вероятността на дадено събитие не може да се раздели, в случай комфортни двойки несъвместими събития, но успява да се раздели на събитието в прости компоненти, които, обаче, са съвместими.
Имоти 9. За всяко крайно множество от събития, имаме уравнение:
Доказателство. Ние използваме метода на математическата индукция. Основан на индукция # 151; имот 6. Нека имота 9 е валидна за. Нека да докажем, че това е вярно за. Чрез имот 6,
Упражнение 19. Заместник (4). (5) в (3) и да завърши етапът на индукция.
Ето един пример на проблема, в които използването на свойствата на 9 # 151; най-лесният начин да се реши. Това е известен "проблем на разпръснати секретарка."
Пример 17. Има букви и подписани пликове. Писма се разширяват в пликовете на случаен принцип един. Намерете вероятността, че най-малко един писмо ще бъде изпратено в плик означава за него, както и на границата на тази вероятност инча
Решение. Нека събитието, което означава, че ти писмо изпадна в плика. след това
Тъй като събития, съвместими, което трябва да се използва формула (2). Класическата дефиниция на вероятност да се изчисли вероятността на събитията и техните пресечни точки. Начални резултати са всички възможни пермутации (разположение) на букви в пликове. Общият им брой е и благоприятното събитие от тях, а именно всяка пермутация на писма, с изключение на тия, намиращ се в плика. Ето защо, за всички.
По същия начин ние откриваме, че за всеки
Вероятността за пресечната точка на трите събития е
По същия начин ние се изчисли вероятността от пресечната точка на всеки друг брой събития, включително
Изчисляване на броя на условия във всяка сума във формулата (2). Така например, в сумата от гледна точка точно # 151; достатъчно trohelementnyh комплекти могат да бъдат образувани от елементите, както и всеки комплект се намира в индекса на тази сума наведнъж. Заместването всички вероятности в уравнение (2). получаваме:
Упражнение 20. Изпишете разширение серия Тейлър и се уверете, че когато.
Свързани статии