решение на системата е подредена съвкупност от числа, така че след подмяната непознати номера, съответно, всеки уравнение на системата се превръща в правилната числено равенство.
Системата се нарича съвместно. ако има поне едно решение.
Ако системата няма решение, а след това той се нарича непоследователно.
Системата за свързване се нарича определен. ако той има уникално решение.
Ако системата има най-малко две различни решения, той се нарича неопределен.
Системата се нарича хомогенна. Ако всички постоянни срокове са равни на нула. В противен случай системата се нарича разнородни.
Системи линейни уравнения се наричат еквивалентни. ако множеството от решения е същият, т.е. всеки разтвор на система в същото време разтвор на другия и обратно. Въпросът за платежоспособността на система от линейни уравнения в общата форма се вижда в следната теорема.
Кронекер-Kapelli.Sistema линейни уравнения е съвместима единствено и само ако ранга на матрицата на системата е равен на ранга на разширената матрица на системата.
За съвместими системи линейни уравнения имаме следната теорема.
1. Ако комбинираната система на ранга е равен на броя на променливите, т.е., системата има уникално решение.
2. Ако ранга на съвместната матрица на системата е по-малко от броя на променливите, т.е., системата е неопределена и има безкрайно много решения.
Нека; наречена обяснителни променливи върху първичната или до основни. ако детерминантата на коефициенти за тях (т.е. база непълнолетния) е различно от нула. Останалата част се наричат второстепенни или безплатно.
Решение на системата, в която всички второстепенни променливи на са равни на нула, се наричат основни.
защото Всеки дял променливи на основно и не алкална, съответстващ на един основен разтвор, както и броят на начини за разделяне не може да надвишава броя на комбинациите, а основното решение не повече има. По този начин, съвместното система m линейни уравнения в п променливи (т.е. Система за еквивалентно на това, че е възможно да се получи, по-специално, чрез замяна на един от уравненията в уравнението се умножава по всяко различно от нула номер. Еквивалентна система може също да се получи чрез заместване на една от уравнения сумата на това уравнение за друг уравнение на системата. Най-общо, заместването на системата на уравнението от линейна комбинация от уравнения дава система еквивалентна на оригинала. Въз основа на тези имоти, оригиналната система от уравнения може да се трансформира, за да: Тук непознатото. наречен основни променливи. Останалите неизвестни - свободни променливи. Сами равенство изразяване на основните променливи, чрез безплатно, наречена общото решение на системата. Решение на системата, получена чрез установяването на специфични стойности на свободните променливи се нарича специално решение на системата. Това може да се случи, че всички ще са неизвестни основни променливи, тогава системата уравнения има уникално решение: Когато разтворът на система от три уравнения Той има ясна геометрична значение. Всяка от тези три уравнения определя равнина. Мястото на точките на пресичане на равнините е решение на тези уравнения. Ако има само една точка на пресичане на самолетите, системата е определена, тя има уникално решение. Ако и трите равнини се пресичат по права линия, системата има безкрайно много решения, не е сигурно. Ако две (или всички три), успоредна на равнината, системата няма решение, което е несъвместимо.
Фигура 1. Системата на три линейни уравнения в три променливи определя комплект от самолети. В точката на пресичане на равнините е решение на тези уравнения.
Пример. Метод на Гаус за решаване на система от линейни уравнения:
Решение. След Гаус, ние ще извърши преобразуването не е самите уравнения, както и свободните условията и коефициентите:
Размножава първия ред на резултата от допълнение получено от втория ред линии, въведени на втория ред. Размножава първия ред и на резултата от допълнение получен от третия ред да постави позицията ред на третия ред. получаваме:
Вторият ред, умножен по 2 и го добавете към третия ред, умножен по резултата от допълнение 5. въведени на третия ред. получаваме:
Третият ред и разделение като резултат на разделение ще остави на същото място. След третия ред, умножен по. да го добавите към втория ред и да е резултат от добавяне на втория ред седалки. След това, на третия ред, умножена по. добавите първия ред и място в резултат на добавянето на мястото на първия ред. получаваме:
Втори ред, и разделете на резултат от разделяне на отпуска на същото място. След втория ред, умножена по. добавите първия ред и място в резултат на добавянето на мястото на първия ред. Ние получи нов набор от безплатни условия и коефициентите на системата:
съответстваща на следната система от уравнения:
От това следва, че
Проверете. Заместник намерени в лявата част на първоначалната система от уравнения стойности:
Получените стойности сравняват със стойностите в дясната страна на оригиналната система от уравнения. Съвпадение сочи към правилността на решението.
Отговор. Системата на линейни уравнения
Пример. Метод на Гаус за решаване на система от три уравнения с четири неизвестни:
Решение. След Гаус, ние ще извърши преобразуването не е самите уравнения, както и свободните условията и коефициентите:
Първо умножете линия. след това в резултат на прибавяне, получен от втория ред да постави позицията ред на втория ред. Размножава първия ред и на резултата от допълнение получен от третия ред да постави позицията ред на третия ред. получаваме:
Последните два реда са били едни и същи. Това означава, че с помощта на елементарни преобразувания на оригиналната система от уравнения може да се трансформира в:
където третата и второто уравнение са еднакви. Поради това, че има смисъл да конвертирате свободните условията и коефициентите на първия и втория уравнения:
Втори ред, за да се размножава. след това в резултат на добавянето на полученото низ с първия ред въведе първия ред. получаваме:
която съответства на системата на следното уравнение:
От това следва, че те са основните променливи. ги представлява чрез:
Останалите неизвестни са свободните променливи. По този начин, отправна система от уравнения има безкраен брой решения:
която може да има стойност в интервала.
Проверете. Заместник намерени в лявата част на първоначалната система от уравнения стойности:
Получените стойности сравняват със стойностите в дясната страна на оригиналната система от уравнения. Съвпадение сочи към правилността на решението.
Отговор. Системата на линейни уравнения
Той има безкрайно много решения:
която може да има стойност в интервала.
Пример. Метод на Гаус за решаване на система от четири уравнения с пет неизвестни:
Решение. След Гаус, ние ще извърши преобразуването не е самите уравнения, както и свободните условията и коефициентите:
Добавяне на първия ред на втория ред, в резултат на допълнение въведе втора линия. Размножава първия ред и на резултата от допълнение получен от третия ред да постави позицията ред на третия ред. получаваме:
В резултат на добавянето на третия ред с четвъртия ред постави на мястото на четвъртия ред. получаваме:
Обърнете внимание на четвъртия ред, стойностите, които дават възможност да се представи последното уравнение в следния вид:
Имайте предвид, че това уравнение не е доволен за всички стойности на променливите, както Следователно системата на първоначалните уравнения още няма решения.
Отговор. Системата на линейни уравнения
Тя няма решения.
Свързани статии