Непрекъснатостта на синуса и косинуса
Синус и косинус на тази връзка, която се определя от правоъгълен триъгълник и страните на стойността на триъгълник малък ъгъл.
Ето графика на синуса и косинуса х х
-Ние разглеждаме ъгъл в радиани
-Вместо това ние ще използваме θ х
г (х) = COS (х)
Очевидно е, че тъй като ч клони към нула, координатите P търсят чрез подходящо координира Б.
Но по дефиниция ние знаем, че
грях (0) = 0 и COS (0) = 1
функционални стойности съвпадат с тези граници като х подходи 0 (напомня на определението за непрекъснатост, че имаме).
limx → 0 грях (х) = грях (0) = 0 limx Ц 0 COS (х) = COS (0) = 1 От това се получава следната теорема
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.7.1
Твърди се, че F функция (х) е непрекъсната в точка С, когато са изпълнени следните условия
-F (в) се определя
-limx → С е (х) съществува
-limx → С е (х) = F (в) теоремата 2.8.1
Функции грях (х) и защото (х) - непрекъснат
доказателство
Нека H = х - гр. Следователно Х = Н + C. Тогава х → в равностойно на изискване ч → 0
F функцията (х) е непрекъсната при С, ако са налице следните условия:
-F (в) се определя
-limh → 0 е (Н + в) има
-limh → 0 е (Н + C) = F (в) Да предположим, че
limx → 0 грях (х) = 0 и limx Ц 0 COS (х) = 1
са изпълнени непрекъснатостта на първите две условия. Сега трябва да покажем, че
limh → 0 грях (в + Н) + = грях (в)
в момента
limh → 0 грях (в + Н) + = limh → 0 [грях (в) COS (Н) + COS (в) грях (з)] = limh → 0 грях (в) COS (Н) + limh Ц 0 COS ( в) грях (з) = грях (в) limh Ц 0 COS (Н) + COS (в) limh → 0 грях (з) = грях (в) (1) + COS (в) (0) = грях (в ) Непрекъснатостта на други тригонометрични функции
тен (х) = грях (х) / COS (х)
тен (х) е непрекъсната навсякъде освен когато COS (х) = 0, което означава,
х = ± МФ / 2, ± 3φ / 2, ± 5φ / 2. = ± kφ / 2 (к = 1, 3, 5) По същия начин, както
кошче (х) = COS (х) / грях (х)
SEC (х) = 1 / COS (х)
cosec (х) = 1 / грях (х)
те са непрекъснато в съответните интервали, като непрекъснато грях (х) и COS (х). Първи извън компресия
Ние ще използваме теорията за компресия (около двамата полицаи) за намиране на границите
limx → 0 грях (х) / х = 1
limx → 0 [1 - COS (х)] / х = 0. Да разгледаме графиката
и график
Ето проблема:
- Когато х отива на нула, а горната и долната част на функцията клони към нула.
- грях (х) клони към нула, това означава, че в общата част клони към нула.
- х клони към нула означава, че функцията като цяло има тенденция да се + ∞. Но ние не можем да пиша тези функции в различна форма, като се използват алгебрични методи за решаване на този проблем. Ние ще използваме различен метод. Една такава техника се получава при използване на следната теорема: теорема компресия (натиск теорема)
Нека F, G и Н е функция отговаря г (х) ≤f (х) ≤h (х) за всички х в някои отворен интервал, съдържащ точка на. може би с изключение, че той не притежава в момента.
Ако г и з имат същите граници като х клони към една, да речем
limx → на грам (х) = limx → Н (х) = L
след това е също има лимит когато х подходи, т.е. S
limx → а е (х) = L Пример:
Използвай компресия теорема да се намери
limx → х 0 2 грях 2 (1 / х)
решение
От 0 ≤ грях (х) ≤ 1, след това 0 ≤ грях 2 (х) ≤ 1 и 0 ≤ грях и 2 (1 / х) ≤ 1
Ние умножете това неравенство от х 2
0 ≤ х 2 грях 2 (1 / х) ≤ х 2
Но limx → 0 0 = limx → 0 х 2 = 0
След това, според теоремата на компресия
limx → х 0 2 грях 2 (1 / х) = 0 Преди доказване на следната теорема, ние виждаме на следната формула.
Доказателството ще бъде използвана от основните факти за обиколката и площта на сектори с радиани ъгъл θ и радиус R
Площта на този сектор се определя като
А = (1/2) .R 2 θ на теоремата 2.8.3
limx → 0 грях (х) / х = 1
Да предположим, че х е такава, че 0 2 .x = (1/2) х
площ на δOBQ = (1/2) base.height = (1/2) (1) .tan (х) = (1/2) тен (х) По този начин, по-горе неравенството се превръща в
0 Използване теорема компресия води до
limx Ц 0 COS (х)