числени методи разтвор обикновени диференциални уравнения. Проблемът с Коши се нарича. задачата за определяне на функцията или няколко функции, които отговарят на един или, съответно, системата на диференциални уравнения и като предварително определени стойности в някои фиксирана точка. нека
- вектор функция определени и непрекъснато на интервала, съответно, и при което в затворено региона - норма тримерно пространство R п. В тази система за означаване, К. S. за система от обикновени диференциални уравнения от първи ред е написана под формата
Въвеждане на подходящ нов неизвестен функция, може да доведе до този вид проблем на границата стойност. за всяка система на обикновени диференциални уравнения от произволен ред. Разтворът от (1) съществува, ако F функция (х, у) в .nepreryvna P. Към този разтвор е достатъчно само да отговаря на условието О Т до Y е с:
където функцията w (т) - е такова, че
или по-силен Липшиц състояние:
Стойността Lnaz. Липшиц постоянна. Ако F функция (х, у) в Y .nepreryvno диференцируема, на Lipschitz постоянна възможно да количеството
Оценка (3) с Липшиц константа (4), в някои случаи е твърде груби за успешното прилагане на числени методи за решаване на проблеми на границата стойност. въпреки факта, че съществува теоретична и това е единственото решение на този проблем. Това се случва по-специално в случаите, когато собствените стойности са "голямата разпространението", т.е.. Е. Най-голямата собствена стойност стотици или дори хиляди пъти по-големи от най-малката собствена стойност. Такива системи, наречени диференциални уравнения. твърди системи, и свързаните с тях задачи - твърда Cauchy проблем. Един от източниците на твърди системи е намаляването на частични диференциални уравнения на система на обикновени диференциални уравнения, напр. като се използва метода на линии.
Числени методи за обикновени диференциални уравнения обикновено са един или повече връзки, свързващи неизвестна функция у (х) .В дискретни точка последователност х к. к = 0, 1 набор от к-ryh наречен. нето. Основи на числени методи като цяло и по-специално диференциални уравнения са положени Ойлер (L. Ойлер). Неговото име е наречен един от най-лесните начини за решаване на проблеми на границата стойност. до позиция е както следва. Нека решаването на проблема (1) в околност на х к в поредица Тейлър
Ако величината на х-х к, е малка, от порядъка на изхвърлянето (х-XK) 2 и по-високо, се получава приблизително равенство
В точка XK + 1 приблизителна разтвор може да се изчисли чрез формулата
Това съотношение се нарича. метод на Ойлер.
Впоследствие, числени методи са значително подобрени. Това развитие се извършва в две основни направления: методи, наречени по-късно метода на Рунге-Kutta и крайни методи разлика, най-важният представител на на-ryh е методът на Адамс.
Предимствата на Runge - метод Kutta включват факта, че алгоритмите, които са получени на базата на тези, са еднакви, т.е., не се променя, когато се движат от една точка към друга мрежа ... Освен това, Runge - Kutta стъпка интеграция може да варира в зависимост от изискваната точност на изчисления без значително усложнение на алгоритъм (виж Kutta -. Метод Мърсън, Runge правило). Въз основа на тези методи, за да се създаде достатъчно стабилни двустранни методи. Основният недостатък е, че за изчисляване приблизителни разтвори в една точка на мрежата изисква няколко изчисляване на дясната страна е (х, у) .differentsialnogo уравнение (1). Това води, особено в сложни дясната страна, значително увеличаване на времето за изчисляване.
крайни методи разликата, включително метода на Adams, изискват само един изчисляване на дясната страна на една мрежа възел. Това е основното предимство на методи крайни разлики. Все пак, за да започне изчисляването на краен разлика формула, допълнителни "начални стойности" трябва да изчисляват преди. Това води до факта, че алгоритъмът е нееднородно - първите няколко стойности трябва да се изчисляват от други формули. По-съществен недостатък е невъзможността на крайни методи разлика просто променящите стъпка за интеграция, т.е.. Д. Необходимостта да се използва решетка с постоянна стъпка.
Въз основа на крайни разликата методи са предназначени. обади. методи за предсказване - пречистване, притежавани до са двойка крайни формули единични една от които (предсказуемо) е, по правило, изрично, и втората (усъвършенства) - имплицитно напр. прогнозира:
Предсказване, методи изясняват са успешно използвани за решаване на твърди системи на обикновени диференциални уравнения. Въпреки факта, че диференциалното уравнение на по-висш порядък формално намаляване на система за първата поръчка уравнения, методи, съобразени с конкретния вид на диференциално уравнение, понякога са много по-ефективни. В тази връзка, разработване крайни методи разлика, използвайки високи производни ред, напр. метод Stormer.
Литература [1] Пример В д п Z и I. F и г до около NP в изчислителни методи, 2-ро издание. т 2, М. 1962 .; [2] Bahvalov NS числени методи, 2-ро издание. М. 1975; [3] Съвременните числени методи за обикновени диференциални уравнения, Oxf. 1976 година.
Енциклопедия по математика. - М. съветски Енциклопедия Виноградов 1977-1985
Свързани статии