Помислете хомогенна уравнение топлина.
При липса на външни източници на топлина. Ние представлява проблемът за Коми:
Виж функция ф (х, у) удовлетворява уравнението:
Физическият смисъл на проблема - определянето на равномерна температура на безкрайната мрежа по всяко време от известни. температура на първоначално време Т = 0.
Смята се, че течения. изолирана повърхност на пръта (топлината не излиза от пръчката)
Сега се предположи, че функция U (х, у) и достатъчно гладки функции с намаляващ
Толкова бързо, че съществата. Преобразува. Фурие
Трансформацията на Фурие функцията се променя. H.
2. Закон диференциал работа.
Следователно, ние откриваме, че конвертира. Фурие втората производна на функцията, свързана с Фурие се трансформира след функции. равенство
Приложими вярващи. Фурие към оригиналната уравнение и се молят. условия. намаляване на пост. проблемът на проблема Коши за обикновено диференциално уравнение
От първото уравнение на уравнението остава:
Получената Проблемът е, Коми задача за обикновени диференциални. Екв.
Решението на този проблем е функцията
(Което може да бъде проверено от простото заместване)
Ние показваме, че функцията
се трансформира на Фурие
Т.е. yavl. Преобразува. Фурие серия от функции:
Ние сме доказали, че функцията
Решението може да се запише като:
Както е добре известно продукт на две Фурие преобразуване = намотка превръщане. функции се променят. Фурие трансформира чрез намотка функции
Решението на оригиналния Коши проблема и посочен. формула Поасон за решаване на проблема с топлина уравнение Cauchy.
Остава да се провери, че предварително определената уравнението отговаря на първоначалното състояние, т.е.
Когато установите, че
Полученият разтвор отговаря на условието:
Основният разтвор на уравнението на топлина (- функция Dir)
Във формула nazyv Поасон. фундаментално. Разтвор на уравнението на топлина.
Като се има предвид, като функция от аргументите, х, т отговаря на уравнението на топлина
както може да се види проверка.
Основният разтвор е важен физически смисъл, свързани с концепцията на топлинната импулс. Да приемем, първоначално първоначалното разпределението на температурата се получава от:
Колкото по-малко по-висок рафт
След това, по силата на Поасон разпределени. температурата в прът има формата:
на теоремата на средна стойност е налице точка
. където ние нека. след последното равенство получаваме
- Това означава, че функцията е разпределението на температурата в бара по това време. Ако първоначално време на x0 има безкрайни пикови температури и в останалите пунктове на температурата на прът е равна на 0. Това беше първоначално разпределението на температурата може да се сближи. осъществява, както следва:
По време на точка x0 прът за много кратък период от време на пламъка се довежда много тесен висока температура (топлина импулс) - това е първоначалните запаси разпределителните температура. Dir формула и е посочено. Не yavl. функция в нормалния смисъл на функцията се определя официално от отношението
2. за всеки интервал. съдържа. x0
По този начин на фондацията. решение yavl. разтвор прът уравнение при първоначалното разпределение на температурата
Свързани статии