дефиниция
Полиноми в променливите над поле, наречено неизлечим отначало, ако той е отличен елемент на пръстена, който не е постоянна и не могат да бъдат представени като продукт, а където е - полиноми с коефициенти, различни от константи.
Полином се нарича абсолютно който не може да бъде намален. ако тя бъде сведен над алгебрични закриването на областта на коефициенти. Абсолютно неизлечим полиноми на една променлива - полином от степен 1 и само тях. В случай на няколко променливи, няма абсолютно неизлечим полиноми на произволно висока степен - например, всеки полином на формата
Корените на несводима полином се наричат конюгат.
- Полиноми пръстен е факторен. всички полином разделя на продукт на неделими полиноми, с тази експанзия се определя еднозначно до постоянен коефициент.
- През недвижими областта всеки който не може да бъде принуден полином от степен една променлива е 1 или 2, с полином от степен 2 който не може да бъде намален, ако и само ако то има отрицателно дискриминантен.
- Над всяко алгебрично поле номер съществува предварително всеки който не може да бъде принуден полином на дадена степен; например, полином, където - отлично, е който не може да бъде принуден по силата на критерий на Айзенщайн.
- Ако - крайно поле елемент, и - положително цяло число, тогава съществува най-малко една несводима полином от степен п.
- Да приемем, - интегрално затворен пръстен с поле коефициент (например ф) и - полином в една променлива с най-висок коефициент 1, след това, с и имат най-висок коефициент на 1, след това.
- Налягане намаляване критерий е неизлечим. Нека homomorphism неразделна домейни. Ако степента на полинома съвпада с степента на полинома бъде сведен над терена и частни терена, няма разлагане, когато е различна от константите.
- Например, полином с най-висок коефициент на обикновен (и следователно несводима в) ако прости полином коефициенти, получени от намаляването модул просто число.
Следващите пет полиноми показват някои елементарни свойства на неделими полиноми:
, , , , .
През пръстен на числа. първите два полинома - задвижване, като последните две - който не може да бъде намален. (Третият полином по принцип не е над целите числа).
През областта на рационални числа. първите три от полинома се редуцира, а другите две - на който не може да бъде намален.
През областта на реални числа. първите четири полиноми - движени, но е неизлечим. В областта на реални числа неизлечим полиноми са линейни и квадратичен полиноми, които нямат реална корени. За пример е даден разлагане на полинома в областта на реалните числа. И двата фактора в тази експанзия са неделими полиноми.
През областта на комплексни числа. всичките пет полиноми - задвижват. В действителност, всеки не-постоянна полином-горе, може да се взима предвид при фактори на формата:
където - степента на полинома. - главен фактор - корените. Ето защо, само неделими полиноми горе са линейни полиноми (основно алгебра теорема).
крайни полета
На полиноми с цели коефициенти, които са несводима целия терен може да се задвижват над крайно поле. Например, полиномът бъде сведен над, но на терена се от два елемента, ние имаме:
литература
- Ван дер Waerden, BL # 32; алгебра. - Мир, 1976 - 648 стр.
- S. Lang # 32; алгебра. - Мир 1968.
- Zarisskii О. P. Samuel # 32; комутативен алгебра. - М. IL, 1963.
Свързани статии