Всички определения и свойства на линейни трансформации запазват тяхната значимост в Euclidean пространства. Въпреки това, наличието на скаларни продукт ви позволява да маркирате важни специални класове линейни трансформации. Тези класове са свързани и трансформация самостоятелно долепени.
Линейна матрица трансформация с е * L * се нарича конюгат тази трансформация е за матрица L, ако за всеки две вектори в Rn имат
Нека да разберете как да се свържете с матрица L и L * в някои ортонормирана база.
По дефиниция, двойната реализация за всяка ортонормирани базисни вектори на равенството
Изображенията на базисни вектори са на формата и след това
В резултат на това за всяка аз = к и и следователно конюгата трансформира матрица, получена от матрица Ltransponirovaniem на: L * = L Т.
Забележете, че ако L - ортогонална матрица, т.е. L T = L -1. След това конюгатът трансформиране е превръщането на обратен: L * = L -1.
линейна трансформация F се нарича долепени. Ако по някаква вектори от Rn истинско равенство
С други думи, линейна трансформация selfadjointness, ако той съвпада с конюгат, т.е. L = L Т. В този случай матрицата Lsimmetricheskaya.
Списък на основните свойства на самостоятелно долепени трансформации.
1 0. Всички собствените стойности на трансформация самостоятелно долепени валиден.
Например, за п = 2, се изчислява по уравнението характеристика или. В дискриминантата на квадратичен полином и не-отрицателни реални корени на тричлен.
2 0. собствени вектори на самостоятелно долепени трансформация, принадлежащи към различни собствени стойности са ортогонални.
Наистина, нека. след това от равенството, което е възможно само ако
3 0. В Евклидово пространство, съществува ортонормирана база от собствени вектори на самостоятелно долепени линейна трансформация. Това твърдение се нарича основните теорема на самостоятелно долепени трансформации. От това следва, по-специално,
Teorema.V основа на единица собствени вектори линейна трансформация диагонална матрица на тази трансформация. където елементите на основната диагонала са нейните собствени стойности.
Всъщност, линейна трансформация е добре определена, ако са дадени изображения на базисни вектори.
Но ако основните са векторите на единица продукция. техните образи, принадлежащи на собствените стойности са на формата
И след като линейна трансформация матрица диагонал на :.
Задача 0.64. Намерете най-собствени стойности и собствени на трансформация самостоятелно прилежаща към матрицата. Намерете ортонормирана база от собствени вектори на матрицата и да направи прехода от първоначалната основа за намерен.
Решение. Характерните уравнението корени
# 956; 1 = 0. # 956; 2 = # 956; 3 = 6. При # 956; 1 = 0 от уравнения намери съотношението собствен вектор координира x1. x2. x3 = 1: 2: 1 и след това - първият собствен вектор. при # 956; 2 = # 956; 3 = 6, системата от уравнения се намалява до една уравнение x1 + x3 + 2x2 = 0, така че съотношението на координатите на собствения вектор не може да се определи еднозначно. собствена стойност # 956; = 6 съответства на безкраен брой не-колинеарни собствени вектори перпендикулярни вектор. две ортогонални вектори могат да бъдат произволно избрани от тези вектори. Например, нека вземем като вектор. защото нейните координати удовлетворяват уравнението
x1 + x3 + 2x2 = 0. Тогава координатите на собствения вектор. ортогонални вектори и. определя чрез уравненията. получавам
Очевидно е, че собствените вектори са взаимно перпендикулярни, защото , Нормализирането ги получава необходимата база:
Матрицата на преход от първоначалната основа за намерени координира колона се състои от нов
§5. В квадратна форма, и матрица канонична форма.
Да предположим, че в ортонормирана база симетрична матрица п - ти ред определя долепени линейна трансформация е. Квадратичен форма. свързани с преобразуването е функция е К (), възлага на всеки вектор редица следната формула:
матрица L се нарича матрицата на квадратна форма к () в основа на предварително определен.
Задача 0.65. Запишете квадратна форма с матрица А =
В квадратна форма на К () съдържа продукт и координатите на техните квадрати, така че понякога се казва, че квадратна форма - хомогенен полином от втора степен на п променливи. Той обикновено е написан така, че диагоналните елементи на L са коефициентите на квадратите на променливите и всеки извън диагонал елемент е равна на половината от произведението на коефициента на съответните променливи.
Задача 0.66. Квадратичен матрична форма А. Намерете матрицата.
Решение. Използването на връзката между коефициентите на квадратните форми и елементи на матрицата, получаваме отговор.
Perehodot основа на нова основа включва вектор от трансформация координира и промяната на линейна трансформация матрица L * = Т -1 L Т. Ако ортонормирана база преход матрица Т към нова основа ортогонална на, т.е. T T = T 1. и след това
L * = T T L Т. Тази формула определя изменението на матрица квадратна форма при смяна на ортонормирана база на пространството.
От особен интерес е новият основа. където квадратна форма е на простата (канонична форма).
Теорема. За всеки квадратното формуляр за ортонормирана база, където е така наречената диагонал:
Доказателство. По дефиниция всяка квадратна форма, свързана симетрична матрица L, който е матричен трансформация самостоятелно долепени.
Чрез основното теоремата на самостоятелно долепени трансформация в Euclidean пространство, съществува ортонормирана база от собствени вектори на матрицата L. Тази база матрица е диагонална L (cm. Теорема §4), които са разположени по основните диагонални собствените стойности # 956; 1. # 956; 2, ..., # 956 п. Ето защо, в тази база квадратното форма има каноничен (диагонал) форма:
Задача 0.67. Намери база, в която квадратното форма е диагонал.
Решение. F квадратна форма с матрица А = е диагонална оглед на ортонормирана база от собствени вектори на матрицата А. Характерните уравнението корени # 956; 1 = -4, # 956; 2 = 1.
Ние намираме и нормализиране на собствените вектори.
Матрицата за преход от стария основа на базата на формата. и след това координатите (х1, х2). преобразува чрез формулите:
В резултат на това квадратното формата отнема диагонал форма
Определение. Броят на ненулевите коефициенти в диагонална форма квадратното форма, равен на ранга на матрицата и се нарича ранга на квадратното форма. Разликата между броя на положителните и броят на отрицателните коефициенти на квадратичен форми диагонал форма се нарича подписването на квадратна форма и е означен # 948;.
И двете от тези номера не зависи от основата, при което полученият диагонална квадратна форма.
№1. Показват, че векторите образуват на базата на триизмерната линеен пространство и да намерят разширяването на вектора на вектори на тази основа. Проверете сега.
№2. Произход L3 основа на пространството се състои от вектори. Вторият базисни вектори включва Създаване формули експресиращи новите координати на вектора чрез стар своята позиция на прехода от първата към втората базова основа.
№3. Намерете най-собствени стойности и собствени, принадлежащи на матрицата
№4. На каква стойност база, векторите и е ортогонален? Нормализиране основа на това, дали основа - ортонормирани.
№5. Намиране на ортонормирана база от собствени вектори на квадратна форма на матрицата и да се създаде формулата на координатна трансформация X, Y и Z в прехода към нова основа. Квадратичен форма да представи на диагонал форма.
Свързани статии