> Квадратура формули се изчисляват съгласно формула (3), съответната квадратура формула наречен квадратура тип интерполация формула.
> Площ формула (2) в предварително определено място в възли
не зависят от формата на подинтегрален.
2. остатъка вида квадратурни формули интерполация Rn [е] може да бъде представен като стойност на специфична функция диференциална оператор е (х). за
.
3. За полиноми на за п включително квадратура формула (2) е остър, т.е.
. Най-високата степен на полинома, за които точен квадратура формула, наречена формулата за степен квадратура.
Разглеждане на конкретния случай на формула (2) и (3): метод правоъгълници, трапеци, параболи (метод Симпсън). Имената на тези методи, се дължат на геометричната интерпретация на съответните формули.
Определен интеграл на F функция (х):
числено равно на площта на извити трапеци обградени от кривите у = 0, X = А, X = б, у = е (х) (Фигура. 1).
Фиг. 1 Площ под кривата Y = F (х) за изчисляване на квадрата целия интервал интеграция [а, Ь] е разделен на п равно на подинтервали на дължина з = (В-А) / п. Площта под кривата приблизително подинтегрален се заменя със сумата от площите на правоъгълници, както е показано на фигура (2).
Фиг. 2 площ под кривата Y = F (х) е приблизително от сумата от площите на правоъгълници
Сумата от областта на всички правоъгълници се изчислява съгласно формулата
Метод, представено с формула (4) се нарича с левия правоъгълник, и метода, представено с формула (5) - от правилните правоъгълници:
Грешката се определя чрез изчисляване на интеграл от стъпка интеграция з. малка стъпка за интеграция, толкова по-точна неразделна сумата S е приблизително равен на стойност I. неразделна Въз основа на този алгоритъм е конструиран да се изчисли интеграла с предварително определена точност. Смята се, че интегралната сума S представлява неразделна стойност I C EPS точност, ако разликата в абсолютна стойност между интегрални суми
, изчислява Етап Н и Н / 2, съответно, е по-малко от EPS.
Метод среден правоъгълник
За да намерите конкретни интегрални вторични правоъгълници от областта, ограничена от правите линии, а и Ь, е разделен на N правоъгълници с еднакви бази часа, височините на правоъгълника са пресечните точки функция F на (X) с средите на правоъгълници (З / 2). Интегралът е числено равно на сумата от площите на правоъгълници N (Фигура 3).
Фиг. 3 Площ под кривата Y = F (х) е приблизително от сумата от площите на правоъгълници
,
п - брой на дялове на интервала [а, Ь].
За определен неразделна метод трапец извита трапец зона също се разделя на п правоъгълен трапец с основи височини часа и Y1. v2. v3. ин. където п - брой на правоъгълен трапец. Интегралът е числено равно на сумата от площите на трапеци правоъгълна (Фигура 4).
Фиг. 4 Площ под кривата Y = F (х) е приблизително от сумата от площите на правоъгълни трапецовидна.
п - брой на дяловете
правило Точност трапецовидна прогнозен брой
Точност трапецовидна правило с увеличаване на
намалява по-бързо от грешката използване правоъгълници. Следователно формула трапецовидна позволява по-голяма точност, отколкото метода на правоъгълника.
Ако за всяка двойка сегменти
изграждане на полином от втора степен, а след това да го интегрират в сегмента
и използване на добавка собственост на интеграл, ние получаваме формула на Симпсън.
метод на Симпсън да се изчисли определен неразделна целия интервал интеграция [а, Ь] е разделен на под-интервали с еднаква дължина з = (В-А) / п. Броят на сегменти на преградата е четно число. След това, на всяка двойка от съседни подинтервали подинтегрален функция е (х) се заменя със Lagrange полином от втора степен (Фигура 5).
Фиг. 5 функция у = е (х) в интервала
заменя с полином от 2-ри ред
Помислете за подинтегрален
. Ние замени този подинтегрален Lagrange интерполация полином от втора степен, което съвпада с у =
:
.:
Представяме промяната на променливите:
Имайки формула замествания,
Интегриране, ние получаваме формулата на Симпсън:
Получени за неразделна
стойност съвпада с площ извити трапецовидни ограничена ос
,
и парабола, минаваща през точките
формула на Симпсън ще бъде:
Във формулата на F на парабола функция стойност (х) в нечетните точки x1 дял. x3. H2N-1 има коефициент 4, вечерта посочва x2. x4. H2N-2 - фактор 2 и две гранични точки x0 = а, Xn = б - 1 коефициент.
Геометричната смисъла на формула Симпсън: площта под F на графика криволинейна трапец функция (X) в интервала [а, Ь] се заменя със сумата от площите приблизително фигури, лежащи под параболи.
Ако F функция (х) има на [а, Ь] на четвъртия за непрекъснато производно, абсолютната стойност на формула на не повече от грешка Симпсън
където М - най-голямата стойност
в интервала [а, Ь]. Тъй като п 4 расте по-бързо от грешката на п 2. Simpson формула п намалява с увеличаване на значително по-бързо, отколкото правило трапец грешка.
Това неделима лесно се изчислява:
Да разгледаме п равно на 10, з = 0.1, изчислената стойност на подинтегрален
в точките на дяла
, както и половина единични места
.
Според вторични квадранти формула получи Ipryam = 0.785606 (грешка е равно на 0,027%), трапец Itrap = 0.784981 (грешка от около 0054. При използване на метода от ляво и дясно правоъгълници грешка е повече от 3%.
За сравнение на точността на приблизителни формули изчисляват отново интеграла
,
но сега съгласно формула Simpson когато п = 4. Разделете интервала [0, 1] на четири равни части от точките x0 = 0, Х1 = 1/4 и Х2 = 1/2, x3 = 3/4, Х4 = 1, и изчисляване на приблизителната стойност на функцията F (х) = 1 / ( 1 + х) при следните точки: Y0 = 1,0000, 0,8000 y1 = Y2 = 0.6667 = 0.5714 Y3, Y4 = 0,5000.
Според формула на Симпсън получаваме
Ние очакваме, грешката на резултата. За F на подинтегрален функция (х) = 1 / (1 + х), имаме: F (4) (х) = 24 / (1 + х) 5. От това следва, че в интервала [0, 1]
. Следователно, можем да вземем M = 24, както и в резултат на грешка не надвишава 24 / (2880 × 04 април) = 0,0004. Сравнение на приблизителната стойност с точно, ние заключаваме, че абсолютната грешка на резултатите, получени от формула Симпсън малко 0,00011. Това е в съответствие с по-горе дава грешка оценка и освен това показва, че значително по-точно правило формула трапецовидна Simpson. Затова формулата за приблизителното изчисление на определени интеграли Симпсън се използват по-често от трапецовидното правило.
Сравнение на методи за точност
Сравнете методи за точност за тази цел ние изчисляване на интегрални функция у = х, у = х + 2, у = х 2. когато п = 10 и п = 60, а = 0, Ь = 10. Точната стойност на интегралите е съответно: 50, 70, 333. (3)
Таблица 1 показва, че най-точно интеграл е намерена с формула Симпсън, при изчисляване на линейна функция у = х, у = х + 2 се постига също чрез методи точност средни от правоъгълници и трапецовидна, правоъгълна полето метод е по-точна. Таблица 1 показва, че с увеличаване на броя на дяловете н (нарастване на броя на интеграции) подобрява точността на приблизителната изчисляване на интеграли
Задачата за лаборатория работа
1) Напишете програмата изчисли определените интеграли методи: средна, дясна правоъгълници, трапецовидна и метод на Симпсън. Извършва интеграцията на следните функции:
в интервала [0, 1] със стъпка
,
,
3. опция Run самостоятелни задачи (Таблица 2)
Таблица 2 Индивидуални възможности за работа
Свързани статии