Два пъти непрекъснато диференцируема функция е (х) е изпъкнала (вдлъбната), ако и само ако Hessian функция F (х) за х е положителен (отрицателно) semidefinite за х (вж. Точката на локален екстремум на функцията на много променливи).
Критичните точки на функцията:- ако зебло е положително определена, след x0 - локален минимум точка на функцията F (х).
- ако зебло е отрицателен определена, след x0 - локален максимум точка F на функция (х).
- ако не е зебло вход определен (получава както положителни и отрицателни стойности) и не-дегенеративен (), след това x0 - точка на седалката F функция (х).
Критерии за определяне матрица (Sylvester теорема)
Положителни определеност.- всички диагоналните елементи на матрицата трябва да бъде положителна;
- няколко основни фактори трябва да бъдат положителни.
- всички диагонални елементи са не-отрицателни;
- всички основни детерминанти на неотрицателна.
Square симетрична матрица за п. чиито елементи са от втори ред частични производни на обективната функция, наречена Hessian матрица и означен:
За да симетрична матрица е положително определена единствено и само ако всички негови диагонални непълнолетни лица са били положителни, т.е.
за матрица А = (Aij) положителен.
Отрицателни определено.
За да симетрична матрица е отрицателно определя, е необходимо и достатъчно условие е неравенството:
(-1) К Dk> 0, к = 1. п.
С други думи, за които квадратното формата е отрицателно определена. необходима и достатъчна, че знакът на ъглови непълнолетни квадратна форма матрица редуват, като се започне със знак минус. Например, за двете променливи, D1 <0, D2> 0.
- Намаляване на ред. Това е промяна на променливи. Например, за функция на две променливи е у = х. В резултат на това се получи функция на една променлива х. Ние също проучване поведението на функцията на линиите у = х и у = -x. Ако първия случай във функцията на тест ще има минимална точка, и в друг случай максималната (или обратно), изследваната точка е точка седло.
- Намирането на собствените стойности на провинция Хесен. Ако всички стойности са положителни, функцията в точката на изпитване има минимален ако всичко негативно - има най-много.
- Проучване функция е (х) в съседство на ε. х променливите се заменят с x0 + ε. След това трябва да се докаже, че F на функция (x0 + ε) на една променлива е, или по-голяма от нула (тогава минималната точка x0), или по-малко от нула (когато максималната точка x0).
Пример №1. Коя от тези функции са изпъкнала или вдлъбната: е (х) = 8x1 2 + 4x1 х2 + 5x2 2.
Решение. 1. Виж частични производни.
2. Решете системата уравнения.
-4x1 + 4x2 2 = 0
4x1 -6x2 6 = 0
получаваме:
а) От първото уравнение изразяваме x1 и заместител на второто уравнение:
Х2 = х2 + 1/2
-2x2 8 = 0
От х2 = 4
Тези стойности X2 замести изразът за x1. Ние получаваме: x1 = 9/2
Броят на критичните точки е равен на 1.
M1 (9/2; 4)
3. Нека на втори ред частните производни.
4. изчисли стойността на втория ред частични производни на критичните точки M (x0; y0).
Изчисляват се стойностите за точката M1 (9/2; 4)
Изграждане на провинция Хесен матрица:
D1 = a11 <0, D2 = 8> 0
Тъй като диагонални непълнолетни са с различни знаци, изпъкналост или вдлъбнатина на функциите не мога да кажа нищо.
Пример №2. Определете дали функция F на (х) = 2x1 + x2 2 2 + грях (х1 + х2) изпъкнала в пространство R 2.
Решение. Два пъти диференцируема-изпъкнала функция е в пространство R 2. ако основните непълнолетни ъглово Hessian неотрицателно. Пишем матрицата Hessian - матрица от втори производни:
Основни непълнолетни лица са съответно:
По този начин, D1> 0, D2> 0 за всички стойности, т.е. е (х) е изпъкнала.
Свързани статии