Матрицата G (х) измерение (п хп) се считат за положителни, ако всички определени неговите собствени стойности m1. m2, ..., Mn бъде положително, т.е. MJ> 0 за всички к = 1, 2, ..., п.
G (х) на матрицата се счита за отрицателен определен ако собствените стойности са отрицателни, т.е. MJ <0 для всех j = 1, 2,…, n .
Ако между собствените стойности на G са както положителни и отрицателни, след това матрицата се редуват, и на функцията - не-изпъкнала.
За да се определи собствените стойности на характеристика уравнение да бъдат решени:
където I - матрица е квадратна идентичност; Det - знак за определящ фактор.
Матрицата различен от зебло, че диагонално разположени отношение на формата.
Така двумерен функция е а (х1, х2) характерна уравнение ще има формата:
Sobstveenye стойности М1 и М2 са корените на квадратно уравнение обикновен 2 m + б М + С = 0 се генерира след детерминанта разкриване.
Да вземем например функцията на две променливи:
Координати на крайната точка X * са определени чрез решаване на системата от уравнения
Hessian. След решаване на уравнението характеристика. т.е. квадратно уравнение (2 - м) 2 - 1 = 0 се получават собствените стойности М1 = 3, m2 = 1, т.е. матрица G е положителен определен. Следователно, е (х) функция е изпъкнала и в крайна точка х = (2,2) има минимална стойност F (х *) = -2.
И двата метода проверяват достатъчни и необходимите условия за екстремум на втория ред са показани в Таблица 4.2.
Пример 4.4. Намери до екстремум на функцията на E 2.
Решение. 1. Напишете необходимите условия за екстремум на първия ред:
В резултат на разтвора се получи неподвижна точка х * = (0,0).
2. потвърди, че достатъчни условия екстремум.
Първи метод: на Hessian матрицата има форма .tak като М1 = 2> 0. тогава точка Х * локална минимална (ред 1 от таблица 4.2).
Вторият начин: Нека да намерим собствените стойности на провинция Хесен матрица, като се използва (4.10):
Следователно. Тъй като всички собствените стойности са положителни, тогава точка Х * локална минимална (линия 1 в таблица. 4.2). От Пример 3.3, което е строго изпъкнала функция на E 2. Следователно, локален минимум точка е точката на глобалната минимум (съгласно претенция 3, Твърдение 3.1).
3. За да се изчисли стойността на функцията на глобално минимум: е (х *) = 0.
Пример 4.5. Намери до екстремум на функцията на E 2.
Решение. 1. Напишете необходимите условия на първия ред:
В резултат на разтвора се получи неподвижна точка х * = (0,0).
2. потвърди, че достатъчни условия екстремум и необходимите условия от втори ред.
Първият начин: В провинция Хесен матрица е даден. Тъй М1 = 2> 0. dostatochnyoe условия оптималност не са изпълнени (линии 1 и 2 в Таблица 4.2). Проверете изпълнението на необходимите условия от втори ред.
Основни непълнолетни първи ред (т = 1), получен от М2 чрез изтриване п - т = 1 - 2 = 1 редове и колони, със същия брой - 2, 2. Основната Мала втори ред (т = 2) се получава от М2 чрез изтриване п - т = 0 редове и колони, т.е. Това съвпада с М2. -4. От това следва, че необходимите условия за екстремум на втори ред не изпълняват (линии 3 и 4 в Таблица 4.2). Тъй като Хесенски матрицата не е нула, може да се заключи, че в точката х * не екстремум (линия 6 на таблица 2.1).
валидиране Критерий на достатъчни и необходими условия от втори ред в проблема с намирането на безусловна екстремум
Свързани статии