Всяка линейна матрица трансформация еднозначно определя оператора в дадена основа на пространството.
Ненулеви вектор се нарича характеристика (собствен) вектор квадратна матрица. принадлежност към собствената си стойност. ако тя преминава след превръщането във вектора, характеризиращ се с постоянен коефициент. тоест, ако
Числовата фактор се нарича характерните корените (собствените стойности) на матрицата на оператора.
За всеки собствен вектор на матрицата, принадлежащи към собствена стойност, и произволен брой на вектора е също собствен вектор на А, принадлежащи към собствена стойност.
Много приложни проблеми на икономиката са намалени на проблема за намиране на собствени стойности и собствени матрици.
Уравнение (6.7) може да бъде представена като
Матрица се нарича характеристика матрицата.
не-тривиално (не е нула) разтвор на (6.8) А съществува само ако детерминантата на матрицата е равен на нула характеристика:
Уравнение (6.9) е характерна уравнение. Ако A - матрица от ред. тогава характеристика уравнението е алгебрични уравнения на степен N по отношение на:
Това уравнение не означава непременно различни н корени и някои от тях могат да бъдат комплексни числа. Всяка от тези съответства на характерните корените на характеристика вектор дефинирани до мултипликативна константа.
Пример 6.2. Характерните уравнението за матрицата е. Уравнението има две корени. , Характеристиката вектори и значение. са вектор ф. където в - произволна константа. Произволни константи често са изключени от разглеждане от въвеждане на нормализирани вектори. В този пример, векторите се нормализират и.
Свойства на характерните корени
1. Размерът на характерните корените е следната матрица:
3. Продуктът от характерните корените е равна на детерминантата на матрицата :.
4. Броят на ненулевите характерните корени на матрицата съвпада с ранга на тази матрица.
5. Характерните корените на диагонала на матрицата са елементи на основната му диагонал.
6. За симетрични матрици на всички собствени значения п са реални числа.
Според теоремата на Cayley-Хамилтън. Матрица е корен на неговата характеристика уравнение:
Теорема характеристика уравнение Hamilton-Keli.Pust е уравнението на матрицата
След следното уравнение матрица
В някои случаи интерес е проблемът с намирането на собствените вектори, принадлежащи към собствената стойност. Достатъчни условия за съществуването на такова самостоятелно вектор следва от следната теорема.
Теорема за собствена znachenii.Esli на устройството в сумата от елементите на всяка колона е равно на 1, има собствен вектор, принадлежащи към собствена стойност 1.
В много свързан с намирането на собствените вектори на приложни проблеми на икономиката имат само информативен смисъл собствен вектор с положителни елементи. Условия за съществуването на такива вектори са Frobenius теорема, Перон.
-Frobenius теорема Perrona.Pust А - неотрицателно квадратна матрица. След това:
1. Максималната модул собствена стойност на матрицата не е отрицателно. Сред собствените вектори, принадлежащи има неотрицателна вектор.
2. В случай на всички не-отрицателни собствени вектори на A са положителни и да принадлежи само на своя максимум модул собствена стойност. Освен това, в този случай, всеки две положителни собствени стойности и се различават само по числен коефициент, т.е..
В проблеми (6.1-6.3) вектори, дадени от техните координати в основата на G. докаже, че системата като основа, и да определят координатите на вектора в тази основа.
Проблемите (6.4) и (6.5) вектори, дадени от техните координати в определена база. Ние трябва да се докаже, че системата на вектори и също е основа. Намерете преход матрица от базата на G към основата.
Намерете ортонормирана база от собствени вектори и матрица в тази база за линеен оператор е определена в някои ортонормирана база матрица A (желаната база не е единствена):
Свързани статии