Всяка система от математически аксиоми от определено ниво на сложност или противоречив, или непълни.
През 1900 г. в Париж бе домакин на световна конференция на математици, които Давид Хилберт (Давид Хилберт, 1862-1943), изложени под формата на дисертации ги формулира 23-висш, по негово мнение, проблемът да бъде решен учени-теоретици на идването на ХХ век. Номер две в списъка е един от тези прости задачи, отговорът на този изглежда очевидно, докато kopnesh малко по-дълбоко. В съвременния език, това е въпрос на това дали математиката е самодостатъчна? Втората задача е да се Хилберт строго необходимо, за да се докаже, че системата от аксиоми - основни твърдения, взети като основа в областта на математиката, без доказателства - съвършени и цели, т.е. позволява да се опише математически всичко. Ние трябваше да докаже, че такава система от аксиоми, можете да укажете, че те ще, от една страна, са взаимно съгласувани, и второ, може да се направи заключението по отношение на истинността или неистинността на тези твърдения.
Да вземем за пример училище геометрия. В стандартната планиметрия Евклидовата (геометрия в равнината) могат да бъдат недвусмислено доказват, че твърдението на "триъгълник сумата от ъглите е равен на 180 °» вярно и твърдението, че "сумата от ъглите в триъгълник е равен на 137 °» невярно. Когато става въпрос за мястото, всяко изявление или лъжа в евклидовата геометрия, или е вярно, и не е на трето място. И в началото на ХХ век, математици наивно вярват, че същата ситуация се наблюдава при всеки логически последователна система.
"Ако можем да докажем, A, тогава можем да докажем твърдението и не-А».
С други думи, ако може да се докаже валидността на твърдението "247 предположение не може да се докаже", че е възможно да се докаже твърдението на "предположението 247 доказуем." Това означава, че връщането на формулировката на втората Хилберт проблема, ако системата за аксиома е пълна (тоест, всяко изявление в него може да бъде доказано), е противоречива.
Единственият изход от тази ситуация, е приемането на непълен система от аксиоми. Това означава, че трябва да се примири с факта, че в контекста на който и да е логична система ние оставаме твърдения, "тип А", които са известни, за да е истина или лъжа - и ние можем да кажем истината за тяхната само извън контакт приема аксиоматично. Ако, обаче, тези твърдения не са на разположение, това означава, че нашата аксиоматична противоречиви, и в него има неминуемо ще присъства формулировка, която може да се докаже, така и опровергана.
По този начин, от текста на първо или слаб непълноти теоремата на Гьодел: "Всяка официална система аксиома неправомерно се предположение." Но това не попречи на Гьодел, формулира и да се окаже второто, или непълнота теореми силен Гьодел "логическа завършеност (или непълнота) на всяка система от аксиоми не може да се докаже в рамките на системата. За да се докаже или отхвърли изисква допълнителни аксиоми (усилване система). "
-Спокоен би помислил, че теореми на Гьодел са абстрактни по своя характер и не ни засягат, но само повишени области на математическата логика, но в действителност се оказа, че те са пряко свързани с естеството на човешкия мозък. Английски физик и математик Пенроуз (Роджър Пенроуз, стр. 1931) показа, че Гьодел теорема може да се използва за доказване на основните разлики между човешкия мозък и компютър. Смисълът на мотивите му е лесно. Компютърът работи строго логично и не е в състояние да определи вярно или невярно твърдение И ако тя надхвърля аксиоматична, а такива твърдения, според теоремата на Гьодел, неизбежно там. Човекът обаче се сблъскват с такава логично недоказуема и неопровержимо твърдение А винаги е в състояние да определи своята истина или лъжа - на базата на ежедневния опит. Най-малко в човешкия мозък е по-добър компютър, свързан с чистата логика. Човешкият мозък е в състояние да разберат дълбочината на истината на теоремата на Гьодел, и компютъра - всякога. Вследствие на това на човешкия мозък е всичко друго, но с компютър. Той е в състояние да взема решения, както и на теста на Тюринг е успешно.
Чудя се, ако Гилбърт знаеше колко далеч сме zavedut въпросите му?
Курт Гьодел
Курт Гьодел, 1906-78
През 1930 г. Курт Гьодел доказва две теореми, че човека означава нещо в превода от математически език: Всяка система от аксиоми достатъчно богати, за да го използвате, за да бъдат в състояние да определи средната аритметична ще бъде или непълни или противоречиви. Не е цялостна система - това означава, че системата може да се формулира изявление, което означава, че системата не може нито да се докаже, нито отхвърлена. Но Бог, по дефиниция, е крайната причината на всички причини. В математически термини, това означава, че въвеждането на аксиоми Бог прави всичко ни аксиоматична пълна. Ако има Бог, а след това всяка претенция, която можете да докажат или опровергаят, позовавайки се по един или друг начин, за Бога. Но Гьодел цялостна система от аксиоми неизбежно спорни. Това означава, че ако ние вярваме, че Бог съществува, тогава ние сме принудени да заключим, че същността на възможни противоречия. И тъй като няма противоречие, в противен случай цялата ни свят се разпадна от тези противоречия, за да са стигнали до извода, че съществуването на Бог не е съвместим с наличието на природата.
Лекции на лятното училище "съвременната математика", Дубна.
Свързани статии