Функционално серия от формата
или, по-сбито, редица видове
Той призова тригонометрични серия. Константи наречени коефициентите на серията тригонометрични.
Ако серията (1) клони, неговата сума е периодична функция с периода като и двете са периодични функции с период
Следващият проблем.
Като се има предвид функция е периодична с период При какви условия за е (х), можете да намерите на тригонометрични серия, която се доближава до тази функция?
Този проблем ще бъде разгледан в тази глава. Определяне на коефициентите на формулите на Фурие. Да приемем, че периодична функция с период е (х) е такава, че може да бъде представен от тригонометрични серия конвергентна на тази функция в диапазона, т.е. сумата от тази серия ..:
Да предположим, че интеграла на функцията на лявата страна на това уравнение е сумата на интегралите на условията на серията (2). Това, например, да се извърши, като се приеме
числения брой на коефициентите на серията тригонометрични клони абсолютно, т.е.. д. положителен числени серия клони
След серия (1) majorize? и по този начин тя може да бъде интегриран план като термин в диапазона от до. Ние се използва това, за да се изчисли съотношението
Интегриране на двете страни на уравнение (2) в обхвата от до:
Нека да се изчисли поотделно всяка интегрална срещащи се в yryvoy части:
За да се изчисли броят на останалите коефициенти имаме нужда от някои определени интеграли, които ние разгледани по-горе.
Ако - цели числа, а след това на следните равенства; ако след това
Ние изчисли, например, първо неразделна от групата (I). защото
По същия начин може да се получи останалата част от формула (I). група интеграли (II) се изчислява директно (вж. Chap. X т. I). Сега можем да се изчисли коефициентите на серията (2). За коефициентът на определена стойност се умножава двете страни на уравнение (2):
Брой, в резултат на дясната ръка, majorize, тъй като членовете й не надвишават абсолютната стойност на положителните условията на поредица сходни (3). Поради това може да се интегрира мандат със срок на всеки сегмент.
Интегриране (2) в обхвата от до:
Като се има предвид формулата (II) и (I), виждаме, че всички интегралите в дясната страна са равни на нула ", неразделна с ром на коефициента
Произведението на двете страни на уравнението (2) върху задната част на преди да интегрирате, ние откриваме
Коефициентите определят чрез формули се наричат на Фурие коефициенти тригонометрични серия (1) с коефициенти се нарича е (х) функция Фурие на.
Нека сега се върнем към въпроса, който постави в началото на този раздел: какво свойства трябва да има функция, която е била построена за нея и Фурие серия клони към сумата на Фурие серия конструирана, равна на стойността на тази функция в съответните точки?
Ние посочва тук теорема, която дава достатъчни условия за representability на функция е (х) серия Фурие.
Определение. е (х) е по части монотонна функция се нарича на сегмента ако сегмента могат да бъдат разделени от краен брой точки на интервали, така че всеки интервал функция е монотонна, т. е. или nonincreasing или nondecreasing.
От дефиницията следва, че ако е (х) функция е по части монотонно и ограничена на сегмент, може да има само първия вид на прекъсване точка. Всъщност, ако има точка прекъсване, по силата на монотонност има ограничения
т. е. точка да има точка първи ред почивка (фиг. 374).
Ние сега се посочи следната теорема.
Теорема. Ако периодична функция е (х) с период по части монотонно и ограничена в интервал, след серия Фурие, построена за тази функция клони във всички точки. Количеството получен брой е равен на F функцията стойност (х) в точките на непрекъснатост функция. В точките на прекъсване на е (х) функция е равна на сумата на средната аритметична стойност на границите на F функция (х) отдясно и отляво, че е. Е. Ако точката на прекъсване на функцията F (х), след това
От това следва, че теоремата на класа на функции, които могат да бъдат представлявани от редовете на Фурие, е доста широк. Ето защо, Фурие серия са широко използвани в различни области на математиката. Особено успешна Фурие серия се използват в математическата физика и приложението му със специфични проблеми на механиката и физиката (вж. Sec. XVIII).
Тази теорема даваме без доказателства. В § 8-10 ще се даде още едно доказателство за достатъчен критерий за разширяване на функциите в редовете на Фурие, която се отнася по някакъв начин с по-тесен клас функции.
Свързани статии