2.5 Компактен пакет
261. В пространството R 2 пример на комплекта М
има следните свойства: а) М - компактни;
б) М - относително компактен;
в) М - сравнително компактен, но не компактен; ж) М - ограничени, но не е компактен;
г) М - затворена, но не компактен.
262. За да се докаже, че набор х N (т) = грях НЗ (п 2 N) е ограничена и е затворен в пространство L 2 [; ]. но не и компактен.
263. даде пример за затворен ограничена набор в `2, но не компактен.
264. докаже, че R всеки затворен ограничена набор е компактен.
265. Да разгледаме С [0; 1] М. множество функции
х (т) = кт + б. където 0 к; б 1. Остава "> 0 - произволно.
Изграждане на M окончателно "-net.
266. Докажете, че всеки precompact настроен на `2 никъде не е гъста in` 2.
267. Докажете, че обединението на краен брой precompact имат precompact.
268. Докажете, че обединението на краен брой компактни комплекти е компактен.
269. За да се докаже, че пресечната точка на всеки набор
Глава 2. нормализирана пространството и функционална
precompact имат precompact.
270. докаже, че сечението на всеки набор от компактни пространства е компактен.
271. За да се докаже, че набор М на всички непрекъснато [0; 1]
функции, така че JX (т) J 1 е ограничена и е затворен в C [0; 1]
но не и компактен.
272. Изграждане пример за ограничено отворено множество по линията покрити с интервали, така че това покритие не може да се разпределят на крайното покритие.
273. е компактен пространство множество `2
274. Нека M - компактен комплект в пространство Банах
X. докаже, че за всеки X 2 х Y 2 има че М.
275. Докажете, че наборът от закриване precompact е компактен.
276. Докажете, че всяко подмножество на компактен комплект е компактен.
277. Докажете, че краен двумерен Normed пространство, всеки ограничена серия е precompact.
278. Нека M - равномерно ограничена набор от функции
пространство С [а; Ь]. Докажете, че множеството от функции N
2.5. компактни комплекти
където х (т) 2 М. precompact.
279. За да се даде пример набор от непрекъснато диференцируема на [0,1] функции precompact в пространство C [0; 1]. но не и в пространството precompact С 1 [0; 1].
В задачи 280-286 precompact установи дали предварително определен набор от функции в C [0; 1]:
280. х N (т) = т п; п 2 N.
281. х N (т) = грях NT; п 2 N.
282. х N (т) = грях (т + п); п 2 N.
285. х (Т) = arctg т; 2 R.
286. х (Т) = д т; 2 R; 0.
287. За да се докаже, че множеството от М елементи х = (х 1 х 2 ,.) в пространството С0 или в precompact тогава и само тогава
е ограничена и Lim х п съществува равномерно по отношение на
т.е. х 2 М. за всички "> 0, има N = N ("). че за всички п> N за всяко х = (х 1 х 2 ,.) от 2 М неравенство
JX п Lim х п к <":
288. докаже, че множество от елементи на М
х = (х 1 х 2 ,.) 2 `р (р 1), ако и само precompact
Глава 2. нормализирана пространството и функционална
когато то е ограничено и
съществува равномерно по отношение на М. х 2 т.е. за всеки
"> 0, има N = N ("). че за всички п> N за всяко х = (х 1 х 2 ,.) от 2 М неравенство
289. Докажете, че една кутия
FX 2 '2; х = (х 1 х 2 ,.). JX п J 1 = нг
Той е компактен комплект в пространството 2 ".
290. показват, че F картографиране от задача 239 не приема
М-ниските стойности. Това не е ли в противоречие с теоремата на Вайерщрас?
2.6 Hahn-Banach
Следните проблеми трябва да намерят продължение на функционален F подпространства L R н за целия пространство R н с правилата на опазването
291. L = F (х; у) 2 R 2 х = YG; е L = 2x.
292. L = F (х; у) 2R 2. 2x = YG; е L = х.
293. L = F (х; у) 2 R 2 х = YG; е L = х.
Свързани статии