Да предположим, че ни е дадена последователност от функции В обхвата на определението на тази последователност е набор от тази последователност, може да се изгради номер. Тази серия се нарича функционална близост. Неговата домейн е набор (т.е. областта на функционалната последователност, от който е изработена). Ние ще дадем на концепцията за конвергенция Pointwise от тази серия.
Определение 2. Ние казваме, че поредицата клони към сумата от точката, ако има краен срок на нейните частични суми:
Моля, имайте предвид, че има една стая зависи не само от, но и от гледна точка. който се занимава с конвергенцията на серия. Ако този брой не зависи от дадената серия ще се доближи до сумата равномерно на снимачната Нека дадем на строго определение такова сближаване.
Определение 3. Ние казваме, че поредицата клони към сумата равномерно на снимачната площадка. ако
Тук пресече означава, че номер е до, и не зависи от точки (брой услуги на всички по едно и също време!).
Имайте предвид следните очевидни свойства на равномерно конвергентна серия.
3. Ако серията клони равномерно към сумата от комплекта. след това се доближава равномерно върху всяка подгрупа
4. Ако серията и се събират равномерно върху (на сумите, съответно), след серия също клони равномерно върху набор (сумата).
5 (единна конвергенция на критерий Cauchy). За серията клони равномерно на снимачната площадка. необходими и достатъчни за
Ние също въведе някои понятия. Множеството от всички точки, където клони от поредицата, тя се нарича набор от конвергенция Pointwise и множеството от всички точки, в които, клони модулната серия се нарича абсолютна конвергенция. Ясно е, че на снимачната площадка ще бъде много условно конвергенция на серия.
Обикновено първо провери Pointwise конвергенция, което представлява модулна серия и се прилагат в тях признаци формулиран по-рано конвергенция за числова поредица (сравнение разполага Даламбер, Коши неразделна знак), определяне на психически аргумент след това намерете област условна конвергенция (тук обикновено са приложими функция Лайбниц), и най-накрая, района на единна конвергенция на функционална серия. В този случай, използвайте следния изявлението.
Вайерщрас критерий (единна конвергенция на поредицата). Нека там в продължение на няколко функционални поредица от числа, които имат свойствата:
а) б) серия клони.
След поредицата клони равномерно на снимачната площадка
(Цифрово серия има свойства а) и б) е в близост до няколко majorizing).
Това следва от неравенството
Наистина, за поредица от числа е само знак за сближаването на Коши означава
(Независимо от броя и редица):
Но след това (4) следва изявлението
т.е. за функционална серия е само на 5 критерий за единна конвергенция. Ето защо, тази серия клони равномерно на снимачната площадка на теоремата.
Например, прилагането на критерия на Вайерщрас до редица ще бъде
Оттогава поредицата клони, и следователно, оригиналните серии клони равномерно по цялата ос Нека разгледаме още един пример.
Свързани статии