Според финансовата математика разбира модели и алгоритми за финансови изчисления. Основна финансова транзакция - кредит. участниците на пазара да направят сделка: заемодателя дава кредитополучателя заем с условието, че датата на падежа на кредитополучателя връща заема със заемодателя на отделните (сто). Ситуацията в най-простия случай, когато отпускането на кредита на година, е показан на фигура 5.1.
S - заем от отделните (сто);
I = = - годишен лихвен процент, в този случай, скоростта на смесване.
Обърнете внимание на неточността на името на величина I - «интерес». Всъщност, аз - е размерът на базата на текущо начисляване заеми и се измерва в пари, а не в проценти. Но такава е традиционен терминологията на финансови транзакции: размерът на смесване се нарича процент или проценти.
Обикновено, когато кредитирането на договора е на стойност Р на кредита и годишния лихвен процент аз. заем с функция на допълнителния S и P аз. Можем да не изразим S и P през аз. S = P (1 + I). Горната формула за S е валидна само за годишния срок на кредита. За всеки друг период от време, ще трябва да въведете формулата. Традиционно, финансови изчисления, времето се измерва в години и че се предприемат годишния лихвен процент, въпреки че други метър време - четвърт, месец, ден, който може да се регулира скоростта. Всички тези условия са предвидени в договора за кредит. Заемът може да се издаде по всяко време, от всяка дата, на всяка дата. Първите и последните дни обикновено се считат за един ден. В различните страни и дори в различни банки в една страна от срока на кредита в години, се изчислява по различен начин.
т - дългосрочни кредити в дни;
T - броя на дните в годината;
Стойностите на Т и Т могат да бъдат определени точно на календара, или приблизително (закръглени). В последния случай се приема, че една година се състои от 12 месеца на 30 дни всеки. Първият метод е означен с (365/365) и втората - (360/360). Възможни напречни методи. Във всеки случай, при получаване на кредита, първо трябва да се уверите, какъв метод се определя от срока на кредита, тъй като от тази стойност зависи процента.
Размер на интерес зависи от стойността на кредита, лихвен процент и срока на кредита на. Има прост и сложна лихва. Просто нарича интерес, които са в линейна зависимост от време. Съединение интерес е експоненциална функция на времето, където времето е включена в индекса.
5.1. проста лихва
Горната формула е дадена за случай на смесване, когато кредитът е точно една година: S = P (1 + I). Ние се получи формула за произволен период смесване измерва в години на заема (Fig.5.1.1).
S1 = P (1 + l) = P + Pi = P + I1.
Ние прилагаме метода на индукция.
Тя може да се види, че процентите са линейна функция на времето.
Формули за изчисляване Sn и В са написани по-горе в продължение на няколко години, н. Очевидно е, че те са валидни за дробни стойности на п и двете по-малки и по-големи от 1. Така например. Ние трябва да се изчисли лихвата за месец приблизителен метод (360/360). След п = и Imes. = Pi / 12. Съответно процентите на ден по метода на (360/360) е равна на Pi / 360. Във всички формули I - годишна лихва.
Със значителен дългосрочен заем понякога се използва променлив лихвен процент - например. Когато предполагаемата промяна в темпа на инфлация в бъдеще. Ние се получи формула за изграждане на заем за случая.
т = 1. m - брой времеви слотове с различни лихви;
NT - т-ти интервал продължителност в години;
това - годишното скоростта на смесване на т-ти интервал.
Връщане на части от кредита
погасяване на кредита, с интерес да се извършва отново в края на срока на кредита или на вноски през този период. В последния случай е необходимо да се изчисли размерът на последното плащане. За да направите това, се използват два метода: актюерски и търговец.
Фиг. 5.1.2 показва схема на изчисленията съгласно актюерския метод, който често се използва за повече от една година на кредита.
т = 1. m - брой плащане;
NT - т-ти мандат на плащане в години, считано от датата на получаване на заема;
аз - годишната норма на натрупване;
St - размера на натрупания дълг към т-то плащане;
Pt - остатък дълг след плащането т-ти.
Формулите за изчисляване:
По всяко време на натрупания дълг се състои от две части: останалата част от заема, не се възстановява P и начислените и неизплатените лихви. Ако по-малко от редовното плащане на натрупаните и неплатени лихви, в размер на намаляване на дълга не е извършена, както и сумата на плащането е приложен към следващото плащане.
Фигура 5.1.3 показва схемата за изчисляване на метод търговец, който обикновено се използва най-малко една година, когато срока на кредита.
т = 1. m - брой на междинните плащания;
плащане т тата междинна стойност - Rt;
NT - т-ти мандат междинно плащане;
R - окончателно плащане.
Идеята за метод търговец е както следва. Нека NT период извършва междинно плащане Rt. На остатъка от срока на времето за заем, равна на (н - NT), начислените лихви, а до края на срока на кредита с лихва, сумата на междинното плащане ще бъде:
Ако тези плащания са били м. до края на срока на кредита ще се натрупа сумата на плащанията, с интерес.
Очевидно е, че окончателното плащане следва да допълва R натрупаната сума плащания с интерес към стойността на кредита за лихвите по заем, начислени.
Подмяна на S и техните стойности, получаваме
Следователно, ние се получи размера на окончателното плащане:
Ние свързваме с идеята за двете разглеждани методите на междинните плащания по кредита. Актюерския метод всяко плащане се намалява размерът на дълга, лихви продължава да се начислява върху остатъка от дълга. В метода на дилъра всяко плащане не намалява размера на дълга, но лихвата по него. В края на срока на кредита, когато окончателната сума за изплащане на натрупания дълг и размера на натрупаните плащания трябва да са равни.
И все пак смята процедурата за смесване: P издаде заем с течение на времето се засилен интерес и трансформира в кредит с лихвен процент смесване S. определя от съотношението на интерес за една година аз да R. заеми в банковата индустрия също се прилага процедура сконтиране (счетоводство), който излезе от операция счетоводни сметки. Бил - задължението за връщане на сумата, посочена в сметката (сметките номинал, означени с S), в посочения период. Ако притежателят на законопроект (собственик му в момента) желае да обменят сметката за парите, той се обръща към банката с предложение да се вземе предвид съществуващата сметката от него, т.е. го купи за сумата от R-малко от номиналната стойност на S. Подобна сделка се нарича дисконтиране, както и размера на намаление на стойността на лицето - с отстъпка. чрез дисконтиране изчисления е показан в Fig.5.1.4 за случая, когато чекмеджето до времето за плащане на сметката (т.е. тези, които са го издали) остана на една година.
S - деноминация на сметки;
1 година - срокът на валидност на инструмента;
D - отстъпка, т.е. отстъпка до номинална стойност, като се има предвид инструмент;
P - цената на законопроект, т.е. сума пари, че продавачът ще получи сметката, когато е взето под внимание.
Лесно е да се отбележи, че схемата за отстъпка е много подобна на схемата за смесване (Фигура 5.1). Стойности на Р и S. D и I са еднакви. Разликата е, че във веригата на смесване на основата на изчисления, предвидени заемаш P и се връща кредитите се изчислява S. процента отстъпка, за да е на базата на същите сметки номинал S (т.е. върнатата сума) и изчислява размера на парите, които R. получават сметки продавач.
Означаваме: г - норма на дисконтиране
Друга разлика между счетоводните процедури и усложнява. Когато РАЗШИРЕНИЯТА скорост и считан от кредита на стойност R. и дисконтовият процент за дисконтиране г счита за деноминация таксува S.
Очевидно е, че със същите стойности на S и P процент ще смесване по-малко проценти. Пишем формулата за изчисляване на R S и е позната под г.
Тази формула е валидна за една година срочни сметки. Нека срока на валидност на законопроект н години, където N - неотрицателно число, включително частична. Формулата за изчисляване на P под формата: P = S (1 - ри). Вижда се, че п и г може да бъде такава, че да може да бъде ри> 1 и Р е по-малко от нула. Това, разбира се, е невъзможно: никой няма да се съгласи да плати сметката, а дори и да плати за него сума, равна на S (ри -1). Ето защо, дисконтиране се прилага така, че да е 1> ри> 0.
Номинална и реална лихвени проценти
Нека P заем се отпуска при лихвен процент и на сто за годината. Година по-късно, ще трябва да се върне кредита с лихвите, S = P (1 + I). Ако има инфлация със скорост й. годината стойността S ще се обезценява.
SH - номинален заем на сто;
Sp - недвижими заем с лихва, т.е. покупателната способност на SH;
R - реален лихвен процент;
I - номиналната скорост интерес;
й - от темпа на инфлацията.
Като се има предвид нотацията, приета на страната, което формулата ще бъде под формата:
Тази формула е да се разбира, както следва: F заем за годината всъщност израства в размер на R, и за сметка на инфлация инфлация й. Вместо това, SH замени стойността си:
Р (1 + l) = Р (1 + R) (1+ й) или (1 + l) = (1 + г) (1 + J)
Извършване на трансформация, ние получаваме:
Това е най-точната формула за изчисляване на реалния лихвен процент по известни стойности на номиналните лихвени проценти и инфлацията. При ниски надуване прилага приблизително формула R = I-J. Когато значителна инфлация трябва да се прилага точната формула.
В рамките на валутно превръщане се разбира като превод от една валута към други финансови активи - например. превод на рубли в долари или обратно. Банката може да запази парите в рубли или валутните депозити. Тя е по-изгодно? Обикновено, лихвените проценти по рубла сметки е по-висок, отколкото за чуждестранна валута. Това се дължи на факта, че рублата се обезцени в резултат на инфлацията по-бързо от долар, еврото и други. В отговор на въпроса в каква валута е по-изгодно да държат парите си в банката, ще зависи от лихвените проценти по рубла и депозитите в чуждестранна валута, както и по време на смяна на темпото национална валута. схема изчисление е показано на фиг. 5.1.5.
Цялата операция е предназначен за една година. A, B, C, D - различни състояния по време на операцията.
Arrow AB - съхранение на пари на рублата депозити.
AC - превръщането на рубли в долари, което означава, продажба на долари от банката на вложителя.
CD - депозира пари в депозити в чуждестранна валута.
DB - превръщането на долара в рубли.
P - размерът на вноската в долари.
SP - рубла сумата на депозита от на отделните (с лихва) в рамките на една година.
S - принос долар с интерес годишно.
аз - годишния лихвен процент по депозитите в рубли.
V - годишния лихвен процент по депозитите в чуждестранна валута.
BPR - продажба на скорост в момента на вноската, т.е. цената, на която банката продава долари за рубли.
bpok - покупки на курса през годината, т.е. цена. за които банката купува долари.
Стрелките показват във формулата за изчисляване на резултатите от операции.
SP = PP (1 + и) - съхраняване на резултата от пари за принос рубла през годината.
- в резултат на първоначалното превръщането на рубли в долари в размер на BPR.
Sd = Pg (1 + х) - в резултат на съхранение на пари в валутните депозити през годината.
Ние определяме условията на съхранение на равностойност на парите на рублата и валутните депозити: в този случай, резултатът за съхранение трябва да бъде един и същ.
5.2. съединение интерес
Ако заемът се предоставя за определен период от време, и се начислява лихва, след като в края на този период, проста и сложна лихва, не са ясно разграничени и начислени заем ще бъде същото. Ефектът на съединение интерес възниква, когато срока на кредита е разделена на няколко интервали, в края на всеки интервал от интерес лагер и са свързани към сумата, натрупана в началото на интервала.
Обикновено се начислява лихва върху първоначалната стойност на кредита, комплексът - на заем по време на частичното с интерес. Фигура 5.2.1 показва схемата за изчисляване на лихвите, когато кредитът се отпуска за целия брой години, и сложна лихва се начислява на годишна база.
J - годишен съединение интерес скорост;
Sn - чрез запълване заем в края на година N;
Формулата се получава за целия п. но тя е валидна за всяко неотрицателно реално число п. Напр. за шест месеца. и за тримесечието.
В банковата практика Лихвените плащания по депозитите накара няколко пъти в годината - за месец, тримесечие, полугодие. В този случай, скоростта на интервал трябва да се изчисли годишната доходност, и обратно заместник - по време на годишния лихвен процент е равен на лихвения процент за доходите в интервал по-малко от една година. схема изчисление е показано на фиг. 5.2.2.
m - брой на интервали през годината;
т - брой интервала;
Ул - кредит на частичното в края на интервала т;
й - годишна ефективност на кредита;
г - скорост на интервал смесване.
За да оцените й и г са еднакво ефективни, е необходимо, че равенството:
Р (1 + J) = Р (1 + г) т;
Следователно, при лихвен процент на интервала може да се изчисли еднакво ефективен лихвен процент за годината.
И обратно заместник - с годишен темп от интерес може да бъде изчислена еднакво ефективно съединение интерес процент за периода.
Свързани статии