Определение. Точно (вляво) производно на F функция (х) при х = x0 е прав (вляво) гранична стойност на връзката при условие, че съществува съотношение.
Ако F функция (х) има производно в точка х = x0. има едностранно производни в този момент. Въпреки това, обратното не е вярно. Първо функция може да има прекъсване в точка x0 на. и второ, дори ако функцията е непрекъсната в x0. тя може да бъде, че не е диференцируема.
Пример: е (х) = ïх ï - е х = 0 и ляво и дясно производно е непрекъснато в този момент, обаче, не е производно в него.
Теорема (необходимо условие за съществуването на производно) Ако функция F на (х) е производно на x0. е непрекъсната в този момент.
Ясно е, че това условие не е достатъчно.
Основни правила за диференциране
1. константа производно е нула, т.е. , където С - строителство.
2. производно с аргумент е равно на 1, т.е. ,
3. Производно на алгебрични сумата от краен брой диференцируеми функции е равна на сумата от производните на тези функции, т.е.
4. производно продукта от две диференцируеми функции:
Следствие. Постоянен коефициент може да се приема като знак на деривата :. където С - строителство.
5. Производно на частното на две диференцируеми функции:
при условие, че.
6. производно на съставна функция, където, където у и U - диференцируема функция на техните аргументи е
Теорема. За диференцируема функция на производното не е нула, производното на обратната функция е реципрочната стойност на производно на функцията, т.е. ,
Производни на основните елементарни функции
Производното на логаритмичната функция:
Производното на експоненциалната функция:
Производното на експоненциалната функция:
Производни на тригонометрични и обратни функции trigonomntricheskih:
Производното на имплицитно функция се получава чрез диференциране на двете страни на уравнението, у това, като функция на х. и след това от получения уравнението е:
Примери. Намери производни на функции:
4). Нека да превърне тази функция, разкривайки скобите. ,
5) Съгласно формулата за диференциране съставна функция имаме. където - на производно аргумент на синусова функция.
6). Тази функция може да се запише като. тук
7) Тази функция е да се превърне, използвайки свойствата на логаритмите :. След това.
Производни на по-висок ред
Производната се нарича производната на първата поръчка. Въпреки това, самата производно е функция, която може също да бъде получен.
N-ти ред производно е производно на производно (N -1) -ти ред.
Етикетиране: т.н.
Механичната смисъла на второто производно: втората производна на начина, по време е равно на ускоряването на точката в момента.
Свързани статии