може да бъде формулиран за увеличаване на последователности на тази теорема следва:
Ако последователността се увеличава и ограничена по-горе, тогава границата на тази последователност е поне горната му граница:
За намаляване последователности:
Ако последователността е намаляваща и ограничена по-долу, на границата на тази последователност е неговата най-голяма долна граница:
Забележка. Вайерщрас теорема на границата на монотонно последователност - теорема за съществуване на лимитирана поръчка, и то не предоставя никакви методи за намиране на лимита.
Примери за решаване на проблеми
Да предположим, че лимитът на тази последователност там, който е:
Приравняването на дясната страна на последните две уравнения, получаваме уравнението по отношение на:
Решаването на това уравнение, получаваме
Стойността не е подходящ, тъй като границата на не-отрицателни числа не може да бъде отрицателен. Следователно, ако съществува граница специфичната последователност, е три.
Ние докаже съществуването на лимита. За тази цел, теоремата Вайерщрас, последователността трябва да бъде монотонен и ограничен. Помислете за разликата
последно знаменател положителен за всяка стойност, а числителят е отрицателен, когато. По този начин, за дадена последователност и се монотонно половина. Оказва се, че последователността се увеличава само третият член?
За монотонно увеличаване последователност е ограничен, е необходимо то да бъде ограничено до върха. Ние доказваме, че за всички. Доказателство за това е чрез индукция.
1 етап. Ние се провери валидността на неравенството в. В действителност,
Етап 2. Да предположим, че неравенството е изпълнено :.
Етап 3. неравенството ще проверява за:
Вследствие на това се оказа, че неравенството притежава всички. И Вайерщрас теорема дадена последователност клони.
Свързани статии