Теорема. Броят на по-малки радиуси на многостен е два пъти броя на ръбове.
Нека F11 F21 F11 - лица на Стол, и нека кт - броят на страни на F1 на лицето. Ако / - брой на краищата Стол,
защото всеки край е обща страна на две лица. Тъй като броят на самолетни ъгли за всяко лице е равен на броя на страните му, общият брой на по-малки радиуси е твърде 2т.
Две polyhedra се наричат изоморфни ако някой може да се установи съответствие едно към едно между тях по ръбовете, докато Ko дяволите. 1955
1) съответните лица имат същия брой страни;
2) две лица, които имат общ ръб, съответстват на краищата, и имаща общ ръб;
3) изправена с общ връх, съответното лице също като общ връх.
Един пример на изоморфни polyhedra може да бъде пресечена пирамида четириъгълна и четириъгълна призма.
Ние даваме без доказателство важна теорема на френския математик и К о w (1813) на изпъкнал polyhedra.
Коши теорема. Ако на всеки две съответни страни на два изоморфно изпъкнал polyhedra са равни, данните са равни или по polyhedra или огледално равен (§ 61).
теорема на Коши изказва собственост на "твърдостта" на изпъкнал Стол. Не можете да промените стойността на ъглите между равнините на изпъкнал Стол, без да се променя ъглите и страните на лицата си.
§ 68. теорема на Ойлер за изпъкнал polyhedra
Теорема. Ако п - броят на лицата на изпъкнал многостен, S - брой върхове, Т - броя на ръбовете,
Доказателство. Вземете лицето F на полихедронов F и вътре точка S. Да предположим, че S '- всяка точка, различна лицето F' '. лъжи OtrezokSS "от едната страна на който и да е от другите лица на Стол. Ето защо, тя няма допирни точки с всяко едно от тези лица. Тъй като F - изпъкнала фигура, всички вътрешни точки на сегмент СС "са вътрешни точки полиедъра.
На повърхността на многостен вземе друга точка също не лежи на лицето Ф. Секциите SS "и СС" не може да има точки в обща, с изключение на точка С. В действителност, ако тези сегменти имат две общи точки, една от тях се оказа част от друг и след това на втория ще има вътрешната повърхност на полихедронов точка F, която е в противоречие с извода, току-що направихте. следва, че линиите, свързващи граница точката S
или F с точките останалите аспекти не общи точки с изключение на общ край S.
Направи равнина на паралелни повърхности F и простиращ се от него на същата страна като активна многостен (фиг. 196). Разстоянието от равнината на лицето и да вземат F, така че да бъде по-малък от разстоянието от равнината на страната на F-близкия до тази плоскост върхове
полихедронов, които не принадлежат към този аспект. След това върховете на F и останалите върховете на многостен ще бъдат разположени на противоположните страни на равнината, както добре. Ето защо, една равнина пресича всички лица в непосредствена близост до лицето F.
Нека Fg - полихедронов сечение самолет и (в чертежа - четириъгълник PQRN). Тази част от полихедронов P е разделена на две polyhedra. Нека F "на две polyhedra, която се намира от другата страна на самолета и на която аспект не е F.
Очевидно е, че броят на лицата на P 'е равен на броя на лицата Е. броят на върховете и броя на ръбовете на полихедронов P ", които не принадлежат към ръба на Фа. съответно равен на броя на върховете и броя на ръбовете на многостен P не принадлежат изправена F. промени в броя на върховете и ръбове, следователно, може да се получи само чрез замяна изправена F извън ^. очевидно е, че
че това увеличение в броя на страните е равен на нарастване на броя на върховете. Ако е "- броят на върховете на F" и ¥ - броят на ръбове
Следователно, ако теорема на Ойлер се отнася и за полихедронов F ", а след това е валидно и за полиедъра.
Ние проектираме от центъра S на F0 лицето на всички останали лица на Стол F ". Както видяхме по-горе, лъчи, произлизащи от точка S и преминаващи през връх на политопа D D F ", другите общи точки имат. Следователно, всеки от тези лица се проектира върху F0 лице в заглавието изпъкнал многоъгълник (фиг. 197), и многоъгълник F0 ще се разлага, когато в изпъкнал многоъгълник, броят на които е равен на N-1 (т. Е. Броят на други функции. 197 лица).
Нека к - броят на върховете на F0 полигон. След това от вътрешната страна на S полигон разположен "- к прогнози останалите върхове на многостен, който ще бъде върховете на полигоните, разположена във вътрешността полигон F0.
От всяка страна се очаква да многоъгълник с еднакъв брой страни, сумата от равнина ъглите на многостен Р "без ъгли ръба FQ е равна на сумата от ъглите на многоъгълник, който се разлага лицето на F0. Ние изчисляваме финала.
Сумата от всички ъгли с върхове във вътрешността на многоъгълника е F0 S (со - К). Сумата от всички ъгли с върхове съвпадат с върховете на FQ полигон. равна на сумата от ъглите на многоъгълника, т.е. 2г (к - 2) ... Ето защо ние се получи необходимото количество ъгли:
Предишна 66 67 68 69 70 71 79 Следваща >>