където - радиус вектора на повърхността.

Линията на повърхността, определена параметрично, се дава от същите уравнения, ако α и β - функция на един параметър. Линии а = конст, β = конст форма на повърхността на криволинейна координира мрежа. DS диференциална квадратен върху повърхността на линията на дължината на дъгата може да бъде изразено като

Експресия Edα 2 + 2Fdαdβ + Gdβ 2 се нарича първа квадратна повърхност форма.

Ако повърхността се дава с уравнението (I) или (II), след това уравнението на допирателната равнина е съответно

Ако повърхността е дадено от уравнения (III) или формула (IV), след това уравнението на допирателната равнина

където М (х, у, Z) - допиране точка; X, Y, Z - настоящите координатите на допирателната равнина.

Уравнението на нормалата към повърхността, определена от уравнение (I), има формата

Разлика dσ повърхност определя по формулата

Да приемем, че повърхността е даден от уравнение (IV), и - вектори единица (вектори), допирателна към линии алфа (β = конст), β (α = CONST) и насочени в посока на увеличаване на параметрите α, β, (, съвпадат с посоката на векторите ,). Ние означаваме единичен вектор, перпендикулярна на повърхността, насочена към всяка точка, така че векторите на единица за образуване на полето система.

Помислете линия L1. извършва на повърхността чрез своята точка M1. Нека K - линия на кривината в точката М1. и - единичен вектор на основната перпендикулярна на линията на мястото M1 насочена към вдлъбнатината на линията. Проекцията на вектор Кв кривината на по вектор посока в точка M1 се нарича нормално кривина линия L1 в точката М1. Линията на повърхността, в която всяка точка в нормално кривината е нула, се нарича асимптотичната линия.

Ако повърхността през точката M1 за провеждане на нормална секция (равнината, минаваща през нормалата към повърхността в точка M1), тогава се получи плосък линия, която в точка M1 на нормалата на главния вектор съвпада с или противоположно на него. Ето защо, кривината на нормалното сечение на еднакви или различни само в знак от нормалната кривина Кн тази секция. Количеството Кн определя по формулата

Експресия Ldα 2 + 2Mdαdβ + Ndβ 2 се нарича втори квадратна повърхност форма. Знакът на Кн се определя от знака на втория основен форма (от първите квадратичен форма DS е равно на 2 и, следователно, позитивно).

Центърът на кривината на наклонената повърхност на секция съвпада с проекцията в центъра на кривината на нормалната раздел равнина с обща допирателна с наклонен участък. Ако R - радиус на нормалната част на кривината, радиусът на кривината ρ на наклонената част може да бъде определен от уравнението ρ = RcosX (,), където - единица вектор на основната нормалната линия, образувана от наклонен участък, а - вектор единица перпендикулярна на повърхността (и се взима в точката повърхност, чрез които провеждат двете секции).

Сред всички възможни нормални повърхностни участъци, преминаващи през неговата точка М, има две секции образуват взаимно перпендикулярни равнини, за които Кн получава максимални и минимални стойности. Тези две части се наричат ​​основни нормални секции и съответните стойности на Кн са наречени основните радиуси на кривата на повърхността и са отбелязани K1. K2. Стойности на R1 = 1 / К1. R2 = 1 / К2 наречен основен радиуси на кривина на повърхността. Стойностите на K1. К2 са корените на квадратно уравнение

Посоката на допирателната към основната част на повърхността нормално се наричат ​​основни направления на повърхността. Линията на повърхността на всяка точка е допирателна разполага с основен посока, тя се нарича линия на кривина. Чрез всяка точка от повърхността са две взаимно перпендикулярни линии на огъване. Поради това е целесъобразно да се избере криволинейната координати α, β така, че линиите a, β ще бъде линии на кривина. стойност

Тя се нарича средната и Гаусово (общо) повърхностни кривини.

повърхност точка, в която К1 и К2 са от същия знак (К> 0) е елиптична; в този момент LN-М 2> 0. По-специално, когато повърхност точка К1 = К2. Тази точка се нарича пъпната връв, и когато К1 = К2 = 0 - фиксирана точка. повърхността на точката, в която K1 и K2 имат различни знаци (K<0), называется гиперболической; в этой точке LN-М 2 <0. Точка, в которой одна из величин К1. К2 равна нулю (К=0), называется параболической: в ней LN-M 2 =0.

Чрез всяка точка на геодезически повърхност се простира във всяка посока, която се определя от факта, че при всяка точка от тази основна нормалната линия съвпада с нормалата към повърхността. Геодезическо линия на повърхността има свойството права линия в равнината: всички видове линии на повърхността, минаваща през двете точки, най-късата дъга която ги свързва, е с геодезически.

Много конструкции имат контури или повърхности на трансфер революция повърхности.

въртящ плоска повърхност се образува чрез завъртане на линия (или меридиан образуваща) около оста. Повърхността на пресечната линия на въртене с равнина, перпендикулярна на оста на въртене, кръг, наречен паралелно. Да предположим, че оста на въртене се приема като координатната ос Z. Ако меридиан разположени в равнината XOZ, дадени от х = х (a), Z = Z (а), където α - меридиан дължината на дъгата спрямо избрания началната точка, самата повърхност на въртене определена от уравненията х = R (a) COS β, у = R (α) грях β, Z = Z (α). В тези уравнения: R (α) = х (a) - радиусът на паралелно преминаването през точка М (х, Y, Z) на повърхността и β - ъгълът между равнината XOZ и равнина, минаваща през оста Z. и точка М. Когато въртене повърхност е дадено по-горе уравнение, имаме

повърхност трансфер е повърхност е описано от линия (генерираща), който се движи в пространството, като остава успоредна на самата (двете линии на позиция наречена паралелно, ако един от тях се получава от друга в резултат на изместване на всяка точка на линията на същия вектор - вектор за прехвърляне) , Когато преместите някой от неговото генериране на фиксирана точка M0 обръща линията. Затова можем да предположим, че генерирането, движещи се в пространството, остава за точка M0 по някакъв ред, наречен ръководството.

- вектор уравнение съответно генериране и насочване повърхност трансфер. Тогава транспорт уравнение на повърхността до постоянен вектор ще

или в друга форма