Показано е, че изометричен изоморфизъм, т. Е. Линейна биективен картографиране запазване на скаларен продукт има това свойство. Обратното е вярно.
Теорема 1. Ако φ - изометрични оператор СР картографиране е биективен и запазва скаларна продукт.
Доказателство. Биективен картографиране ср произтича от наличието на Ф обратния оператор -1 = φ *. Ние се провери, че скаларна продукта се запазва под Ф е картиране:
(Φ (х), φ (у)) = (х. Φ * (φ (у))) = (х. (Φ * φ) (у)) = (х. Id у) = (х. Y) ,
Поправяне на ортонормирана база д 1. д 2. ..., е н и в евклидово пространство E. Нека A φ - матрица на изометрично ср оператор в тази база. Т ак като матрицата на конюгат оператор φ * в същата основа има формата
= А. φ (.. Или = ф в реалния случай), матрицата φ изометрични оператор има свойството:
Нека да учат повече такива матрици.
Определяне 8. О Мп (R) матрица нарича ортогонална. ако О -1 = О Т. матрица U Мп (С), наречена единно. ако U -1 = U Т.
Теорема 2. редовете и колоните на единна (ортогонална) матрица - взаимно ортогонални единичен вектор.
матрица U. Следователно, колоните на матрицата U са ортогонални и имат дължина единица, QED.
Това изказване на колоните на матрицата може да бъде получена от геометрични съображения, ако U - матрица на изометрично оператор в база ортонормален. Колоните са съставени от координатите на снимки на модели на вектори д 1. д 2. ..., д н в тази база. Isometry запазва скаларен продукт. Следователно, колони - вектори φ (е 1), ..., φ (д н) - също образуват ортонормирана база.
Имайте предвид, че единна (ортогонална) матрица също така се срещат при разглеждането на прехода от една матрица за друг ортонормирана база. Наистина, нека д 1. д 2. ..., е н и е 1. д 2. ..., е н. - два като база и Р - матрица на преход от първата към втората основа. Колоните на матрицата P съставени от координатите на вектори д 1. д 2. ..., д п. в база Д 1. д 2. ..., е н. Колоните на матрицата P
Най - взаимно ортогонални единичен вектор. Следователно, Р Т Р - матрица, състояща се от колони по двойки скаларни продукти - е Е,
Р Т Р = Е. Следователно, Р Т е обратна матрица Р -1. и Р е самата единна (ортогонална) матрица.
Да разгледаме сега детерминантата на единичната матрица U. Det U (сума с подходящи признаци на матричните елементи продукти, извлечени от различни редове и различни колони) е комплексно число.
степен на заместване н. SGN σ - знака си, а S п - множеството от всички пермутации.
Тъй като комплекс конюгирането пътува с операциите на допълнение
и мултиплициране на комплексни числа, след DET U = Det U. Ние изчисли модул на комплексно число Det U.
Теорема 3. Нека U - единична матрица, а след това | Det U | = 1.
Доказателство. Подробности (U U T) = Det U Det U Т = Det U Det U = Det U Det U = = | Det U | 2.
Но U U Т = Е. следователно | Det U | 2 = 1 и | Det U | = 1, че с модула на комплексно число - .. А положително реално число. Най-определящ фактор за единична матрица - цялостен запис с висока модул равен на една - може да се запише като:
Det U = д аз α = COS α + СИН α, QED.
Ако О - ортогонална матрица, всички негови елементи са реални и O = = О. Det O - реално число, а доказателството Теорема 3 имаме | Det O | 2 = 1. Следователно, в реалния случай Det О = ± 1.
Забележка. Нека д 1. д 2. ..., е н и е 1. д 2. ..., е н. - две ортонормирана база в реално Евклидово пространство, P - матрица на преход от първата към втората основа. P - ортогонална матрица, и следователно, Det P = = ± 1. Ние казваме, че базите д 1. д 2. ..., е н и е 1. д 2. ..., е н. Те имат една и съща ориентация. ако Det р = 1, и обратното. ако Det P = -1. Помислете
пространство R п. Всяка база, като същата ориентация със стандартната основа, ще се нарича положително ориентирани. Противоположно ориентирана бази ще се нарича отрицателно ориентирани. Тези дефиниции се обобщи концепцията на положително и отрицателно ориентирани тройки на вектори на триизмерен вектор пространство в случай на ортонормирани бази в стандартен Евклидово пространство R п.
§ 6. Свойствата на изометрично оператор
Помислете за линейно подпространство L в евклидово пространство E и нейната ортогонална допълнение L.
Теорема 1. Ако L - инвариант подпространствения изометрични φ оператор, на L - също е инвариант подпространство на оператора.
Доказателство. За всяко х у L и има: = 0. Нека ил; (X Y). след това да се провери инвариантна подпространство L под действието на φ Операторът трябва да гарантира, че (х φ (у).) = 0 за всяко х L. подпространство L е инвариантен под действието на φ оператор, следователно, φ: L → L - изометричен оператор в L . т. напр. линейни и биективен картографиране. Следователно, всеки вектор х L могат да бъдат написани като φ (х,), където х. = Φ -1 (х). По този начин,
(X. Φ (у)) = (φ (х,), φ (у)) = (х. Y) = 0, т.е.. За. X. L. и у L. QED.
Спомнете си, че ако един линеен оператор (не е задължително да изометрични) има собствени вектори, а след това той също има инвариантни подпространства, например, собствен подпространствения V λ. Поради това, търсенето на инвариантни подпространства на изометрични φ оператор е препоръчително да се започне с проучване на нейния спектър.
Теорема 2. Корените на характеристика уравнението на изометрично оператор в абсолютен единство.
Доказателство. Случай 1. Нека φ - изометрични оператор в комплекс евклидово пространство Д.
полином P Ф е (λ), като всеки полином от степен п ≥ 1 С в област има поне един корен λ 0 (по-точно п корени по отношение на техните мултиплетности). Този корен е собствена стойност на φ, съответният собствен вектор х 0.
(X 0. х 0) = (φ (х 0), φ (х 0)) = (λ 0 λ 0 х 0. х 0) = 0 λ λ 0 (х 0. х 0).
ламбда 0 ламбда 0 = | λ 0 | 2. Тъй х 0 - собствен вектор, (х 0. х 0) ≠ 0 и | ламбда 0 | 2 = 1. Поради това, | λ 0 | = 1.
(Λ) = Det (О - λ Е), P φ (λ) = Det (О - λ Е).
Но в случая на 1, беше показано, че всички корените на характеристика мулти-
модул, равен на 1, QED.
Тъй като комплекс линеен пространство всеки корен на характеристика уравнението е подходяща стойност, изометрия оператора е инвариантен подпространство. Ако х 0 - собствен вектор, съответстващ на собствени стойности ДълЖината 0. линейни участъка L =
= X 0 - двумерен инвариантна подпространство изометричен оператор.
В реалния случай, като пример в равнината на въртене на оператора на ъгъл α ≠ к π. в изометричен оператор не може да бъде не-тривиални инвариантни подпространства (т.е.. д. подпространство различни от нула, и цялото пространство). Това се дължи на липсата на реални корени на уравнението характеристика.
Помислете за изометрична Ф оператор в реалния евклидово пространство. Корените на характерната уравнение са на модул единство. Ако те са истински, това е броят на ± 1, които ще бъдат собствени стойности на оператора, както и на съответните собствени стойности са инвариант подпространство. Ако коренът на характеристично уравнение ДълЖината не е от голямо
nificant, след λ = д и а. α ≠ к π.
ТЕОРЕМА 3. Да λ = д аз α (α ≠ к π) - основата на Р Ф е характерна уравнение (λ) = 0 изометричен Ф оператор, работещ в реално Евклидово пространство Е; След това е двумерен инвариантна подпространство L E. в която операторът е въртене φ от ъгъла а.
Доказателство. Поправяне на ортонормирана база д 1. д 2. ..., е н и в пространството E; О - матрица на оператора в тази основа. Както и в доказателство на теорема 2, ние се установи изометричен изоморфизъм между пространство E и
ортогонално допълнение на L е инвариантна по отношение на МФ. неясен L = к. т. За. Е = LL и слабо Е = слаба L + неясен L. оператор φ действа в пространството L. и следователно от индукцията в пространство L съществува ортонормирана база д 2. ..., Ek една от собствени вектори φ , Тогава е 1. 2. д ..., д к 1 - ортонормирана база в пространството Е., състояща се от собствени вектори на φ, QED.
Матрицата на изометрично оператор в основата на собствени вектори е диагонална и диагонални брой модул един. Така, за всяка единична матрица U съществува друг единичната матрица V, така че V -1 UV - диагонална матрица. Матрицата V - е преход матрица от база ортонормирана референтен стандарт, където операторът се определя като оператор на умножение от U. матрица на каноничен основа на собствени вектори, чието съществуване е доказано в теорема 1. С други думи, може да се каже, че всяка единична матрица подобна на диагонал специален тип:
Ако φ - изометричен оператор в реално Евклидово пространство, то не може да бъде ортонормирана основа на собствени вектори, като например, завъртане на оператора при ъгъл α ≠ к π равнина. Въпреки това, в реалния случай, има специален изометрични оператор база (канонически) ортонормален.
Теорема 2. Нека φ - изометрични оператор в реална евклидово пространство E; след това на това място има ортонормирана база, при което матрицата на оператора е от вида:
Този блок-диагонална матрица двумерен клетки, които са числата 1 или -1, и двумерен - въртене матрица за ъгли а аз.
Доказателство (предизвикване). Нека φ действа
в едномерен Евклидово пространство Е. В този случай, ф оператор - умножаване с номер, който по силата на изометричен равно на ± 1. Векторът на единица дължина е
в пространството E е необходимата основа.
Да приемем, че теоремата държи за евклидово пространство E величина на по-малко от п (затъмнява E слабо L = 1. вектор е 1 = - пространство основа L. Чрез теорема 1 § 6 .. Относително инвариантна подпространство L φ, ф т.е. актове в пространство L. слабо L = п - 1, и от индукция хипотеза пространство L има ортонормирана база д 2. ..., д п. където φ е матрицата на искания клетката диагонал. Вектори д 1. д 2. ..., д п - Е. ортонормирана база на пространството, в което матрицата има необходимата оператор φ клетката диагонал. Ако спектъра на Ф е оператор не е реални числа, помислете за ком- комплекс корен λ 0 = д аз а 0 характерна уравнение. Според теорема 3, § 6 в пространството Е има двумерен инвариантна подпространство L., в която φ оператор действа като завъртане под ъгъл α 0. Да д 1. д 2 - L. ортонормирана база ортогонална допълнение подпространство L инвариантен по отношение на МФ и слабо L = п - 2. индукция в L съществува ортонормирана база д 3. ..., д п. където матрицата на φ има каноничната форма. Имайте предвид, че в този случай, всички клетки на диагонал двуизмерен, QED. От тази теорема това предполага, че ортогонална матрица за всеки О, има и друг ортогонална матрица Q (преход матрица на каноничен основа), така че Q -1 OQ - блок-диагонална матрица е описано в теорема 2. И накрая, ние се отбележи, че каноничната форма на ортогонална матрица се определя еднозначно до пренареждане на клетките по диагонала. § 8. изометрични оператори в равнината и в пространството Теорема 2 на предходната секция позволява на операторите да класифицират изометрични самолет в триизмерното пространство, като описва не само всички ортогонални матрици измерение 2 и 3 до сходство, но също и на съответните геометрични оператори. Да разгледаме isometry в равнина Ф е, т. Е. В стандартен двумерен Евклидово пространство R 2. каноничен формата на матрицата на φ определя еднозначно до реда на клетки по диагонала. Нека д 1. д 2 - ортонормирана база на пространство R 2. където матрица ope- Rathor φ е каноничен форма. Ако O = пространство от 0 са собствени вектори φ с собствена стойност -1. Операторът носи φ в пространството на централната симетрия спрямо произхода: φ (х) = - х. Сега предполагам, че в спектъра на Ф е оператор има не-реални числа. Ф е оператор - е изометрично следователно от теорема 2 § 1 е на форма Е и а. Р Ф е характеристика полином (λ) има реални коефициенти. Както знаете, на които не са реални корени на реални полиноми PA-срещат За да продължите с изтеглянето, което трябва да се съберат на снимка:Свързани статии