Проблем 10. Find функция екстремум

Намираме частните производни:

и смесени производно.

Необходимо условие за екстремум: и

Ние решаването на системата от уравнения х = 2y, 4Y - у = -9, у = -3

По този начин, точка Р (-9; -3) критична точка. Експресионният конструкт и изчисляване на стойността му в критична точка Р (-9; -3). След това, ако. P-екстремалната точка. В същото време, ако. след това P - минималната точка,

и ако. след това F - максималната точка,

Ако. екстремум там, и ако - екстремум може или не може да бъде. Необходими са още изследвания.

Установяване естеството на екстремум в точка Р (-9; -3).

. следователно, Р (-9; -3) - екстремум точка, а от точка Р, независимо от произхода, че P (-9; -3) - минимум точка на функцията.

Интеграли могат да бъдат предложени. прилагане на основни методи

интеграция; метод на заместване на метода на смяна променлива

интегриране по части.

Смяна :. Ние считаме, диференциалите на двете страни на заместване

или. Ние правим промяната на променливата в подинтегрален и да намерят интеграла.

В първата от интегралите отдясно, въведете заместване. или къде. По този начин.

Вторият интеграл от дясно са представени в таблицата.

И така къде. две произволни константи количества неопределен интеграли са комбинирани в един.

Получаваме табличен неразделна тип. Връщайки се към старата променлива, ние имаме.

д). Ние считаме, начина му на интеграция, като части от формула.

В първата от тези две уравнения различаваме двете страни да се намери. а във втория интегриране да се намери. Ние се получи. (Тук произволна константа на интегриране приема, че е нула, тъй като е достатъчно най-малко една точка).

Прилагането на формулата за интегриране по части,

г). Това е интеграл от рационална функция. Ние разшири подинтегрален в частични фракции от известен правило, предварително разширяване на знаменател факторизирането. След това. където А, В, М, N - неопределени коефициенти, които трябва да бъдат намерени. Позовавайки се на двете страни на това уравнение под общ знаменател, ние откриваме

Такова равенство на отношенията с един и същ знаменател са възможни само в случай на равенство на числителя, т.е..

Приравняването на коефициентите на подобни правомощия на х за лявата и дясната страна на последното равенство, ние получаваме системата от уравнения

Ние се обръщаме към интеграция

Ето две от геометричния характер на проблема, свързан с изчисляването на определен интеграл.

Задача 12. Изчисли площ от фигурата, ограничена от линии

Решение. Фигура ОМА (Фигура 4), ограничена от линии за данни се състои от две части и OMV BMA, представляват конкретни случаи на извитите трапеци обградени от горната крива и да поемат. Така желаната област се изчислява с помощта на определен интеграл като сума от две полета с формула

Определени интеграли изчислени от F> rmule Нютон-Лайбниц. По този начин, в областта е равен на OMA

Задача 13. изчисляване на обема на твърдото вещество, получено чрез завъртане

около оста на фигурата, ограничена от линиите. ,

Решение. Обемът на тялото на въртене от формула

Проблем 14. Виж конкретен разтвор на диференциално уравнение

. задоволяване на първоначалните условия

Това уравнение от първи ред е линеен, тъй като то отговаря на общата форма на линейни уравнения. Ние се търси решение във формата. къде. - диференцируеми функции на. След това. Заместването. в това уравнение, получаваме

Приравняването на нула експресията в скоби, и получаване на уравнение с множество променливи или. или. Интегрирането на двете страни на уравнението намираме или (Тук се предположи произволна константа, равна на нула). Местоположение. Заместването на уравнение. Ние идваме при неговото общо уравнение с много променливи или. или. или. къде.

И тъй като решението се търси във формата. това ще бъде така. Това- общо решение, в което - произволна константа. Ние сега се реши проблемът с Коши общото решение на дадените начални условия се определи конкретно решение. За да направите това, ние замени общото решение на първоначалните условия. Или се получи. или. или. къде. Заместването на тази стойност на константа в общото решение, ще получим едно специално решение, което отговаря на първоначалните условия.

Проблем 15. Намерете областта на сближаването на серия власт.

Домейнът на конвергенция е съвкупност от всички точки на сближаване на дадена серия. Ние намираме радиуса на конвергенция и интервал.

Къде. Радиусът на конвергенция. Тогава интервалът на конвергенция. Ние разглеждаме сближаването на краищата на интервала.

1) Ние замени серията власт. Ние получи числен серия. Тази серия е за отклоняване, като необходимо условие за постигане на сближаване.

2) заместване на серия мощност. получаваме с променлив поредица от числа. който се различава по същата причина: неговата общ термин тенденция към 1, а не 0.

По този начин, в региона на сходимост на степенния ред.