Полето вектор се нарича соленоидни. ако съществува поле вектор. за който полето е ротор :.
Vector потенциал поле се нарича векторно поле.
Симптом соленоидни векторни полета: поле вектор е соленоидни единствено и само ако му разминаване е нула :. (14)
Решение примерен RGZ
Задача 1. Изчислява работната сила, докато се движи точката на прилагане на сила по предварително определена крива от точка до точка Б L. С. Ако се дава стойността на параметър Т в точките В и С :.
За да се изчисли линия неразделна операция използва род II (формула (3)).
Състои линия неразделна намалява определяне на интеграла използване на параметричните уравнения на кривата на слънцето
За да се получи дадена крива:
По този начин, определен интеграл е необходимо да се изчисли за намиране на работа:
Ние правим промяната на променливата в определения интеграл:
Ние се използва техниките на "сумиране под знака на диференциала на функцията под интеграл":
A: U. работа.
Задача 2. Настройте радиус вектора на движеща се точка:
. Намерете най-скорост и ускорение вектори на движение на точката на 2 минути след началото на движението.
Вектор функция се определя в координатна форма.
Откриваме първата и втората производни от своя проекция х (т), Y (т) Z (т) към аргумент Т:
Намираме векторите на скоростта и ускорението на точката от формули (4) и (5):
След 2 минути след началото на скорост и ускорение вектори са:
Задача 3. Предвид уравнението на полето на вектора и равнина г. 3x + у + 2Z - 3 = 0. Изисква:
1) намери областта на потока през равнината на триъгълник ABC където AV и С - точка на пресичане на равнина с координатните оси D, в посока нормална равнина ориентирани "от произхода"; изграждане на изготвяне OABC пирамида. където G - произхода;
2) като се използва формулата Ostrogradskii Гаус-изчисли поле поток през цялата повърхност на пирамидата в посока OABC пасивно нормално.
1) С цел да се изчисли поле поток през равнината на триъгълника ABC използване формула (6): = лапи. където D - проекция на триъгълника ABC в XOY равнина. F - функция определя равнина г. който принадлежи към триъгълника ABC.
Построява пирамида чертеж, поставяне на координатните оси на А. Б. С и ги свързва с началото координира О (фиг. 9).
От уравнение равнина г. 3x + у + 2Z - 3 = 0, което има форма F (X, Y, Z) = 0, ние откриваме.
Тъй като всички три издатини положителен градиент, тогава този вектор координатните оси форми с остри ъгли, т.е. насочена от "произход" с равнина г. Това означава, че вектора и вектора на единица "чужд" нормално. посочено в проблема, имат една и съща посока, така че изчисляването на потока през равнината на триъгълник ABC се свежда до изчисляване на двоен интеграл: лапи = + (преди неразделна набор знак "+"), където AOV - проекция на триъгълник ABC XOY равнина.
За поставянето на границите на интеграция за триъгълника AOV (. Фигура 10) намираме уравнението на линията AB в XOY самолет:
По този начин, областта на потока през равнината на триъгълник ABC:
Ние изчисляваме вътрешния интеграл в променливата Y:
Ние изчисляваме външния интеграл в променливите х:
2) За да се изчисли поток през цялата повърхност OABC пирамидата. Ostrogradskii използване формула Гаус:
Намираме се намалят различията в тази област по формулата (8). За да получите най полето:
Изчисляваме полета поток през цялата повърхност на OABC на пирамида:
. където - обем OABC пирамида. Това количество може да се изчисли, както следва:
Резултатът :.
Задача 4. Проверете дали векторен потенциал на напрегнатостта на полето или соленоидни. В случай на поле намери потенциал и капацитет се изчислява с помощта на работната сила на сградата при преместване на единица тегло на точка М (0,1,0) до точка N (1,2,3).
За да се изследва областта потенциалния вектор намери ротора му с формула (10):
Впоследствие потенциалното поле.
За да се изследва поле соленоидни намери отклонение от формула (8):
Следователно, областта е соленоидни.
За потенциал U (X, Y, Z) на вектор поле предприемат във фиксирана точка (0,0,0), текущата точка С (х, у, Z) и изчисляване на линия неразделна по счупен VEKC. единици, които са успоредни на координатните оси и Е (х, 0,0), К (х, у, 0) (вж. фиг. 7). С формула (12) получаваме:
Имаме потенциал терена. където С - е произволна константа. За да тествате решения намираме потенциал градиента. , Следователно потенциал на напрегнатостта на полето се намира вярно.
Намираме вектор поле на работа при преместване на единица тегло на точка М (0,1,0) до точка N (1,2,3) съгласно формула (11):
Отговори: Област потенциално не соленоидни; , където С - е произволна константа; Работа = -10.
Свързани статии