Обобщение на тема:

въведение

• 1 Preliminaries
  • 1.1 параметри Рейтинг
  • 1.2 Експериментирайте Matrix
  • 1.3 System Solution
  • 1.4 Връщане към нестандартните фактори
• 2 пълен факторен експеримент
  • 2.1 PPE Matrix цяло
  • 2.2 Свойства на матрица PPE
  • 2.3 Изчисляване на коефициентите на линеен модел
  • 2.4 Преобразуване на природните фактори и нормализира назад
  източници
  

Пълен факторен експеримент (PPE) - комбинация от няколко размери, които отговарят на следните условия:

• Брой на измерванията 2 п. където п - брой фактори;
• Всеки фактор отнема само две стойности - горни и долни;
• В процеса на измерване на горните и долните стойности на фактори се комбинират във всички възможни комбинации.

Предимствата на пълен факторен експеримент са

• прости решения за оценка на параметрите на системата уравнения;
• Статистическа количества измерване съкращение, което намалява влиянието на отделните параметри за измерване на очакваните грешки.

1. Предварителен

Сближаване на нелинейна функция на две променливи самолет

1.1. Параметрите на рейтингова система

На практика често се изисква да се изчисли параметрите на една система, която е да се изгради математически модел на това и да намерят числовите стойности на параметрите на този модел. Първоначалните данни за модела са резултатите от експеримента, което представлява комбинация от няколко отчитания върху конкретен план. В най-простия случай, планът е описание на условията на измерване, т.е. стойностите на входните параметри (фактори) по време на измерването.

Като пример за системи, оценка на параметър, който е от значение от практическа гледна точка, тя може да служи на различни процеси. За да се убедите, помислете процес на фотолитография.

Фотолитография е модел рисунка върху повърхността на фотографски метод. Той се състои от следните етапи: подготовка на повърхността, покриване фоточувствителни емулсии (подложки), сушене, като определя шаблон или отрицателен модел плоча, експозиция (преекспонирани) с ултравиолетови лъчи, ецване (развитие). Както технологични тънкостите фотолитография в този контекст не е важно, тъй като основните фактори, които влияят на процеса на литография, ние приемаме, фоточувствителния дебелина емулсия г (в микрони) и времето на експозиция Т (в секунди). Output параметър (отговор) процес поема негово разрешение Р. т.е. максималният брой на отделни линии, които могат да съдържат в един милиметър повърхността. Тази стойност се определя чрез прилагане на повърхността на специален тест изображение.

По този начин, процесът на фотолитография е описан от функция на формата

Изграждане на модел на процеса дава възможност да се определи поведението на реакция на системата в зависимост от фактори на промяната и най-доброто, за да намерите начини за оптимизиране на технологията. За този конкретен случай - за избор на дебелина на емулсия и времето за осветяване, който ще осигури най-доброто качество на изображението.

Като цяло реакцията на системата е описано от някои функции на п променливи

Математическият модел на системата е резултат от сближаването на функцията на всяка друга функция, като линейна

Фигурата показва графично процеса на изграждане на процеса на линеен модел фотолитография, където X1 - дебелина на филм на емулсията, x2 - времето на експозиция, у - резолюция получени в тези условия. функция у = F на (х1, х2) е нелинейна, но в достатъчна близост до неговата точка А0 може да бъде заменен от равнина, допирателна у = a0 + a1x1 + a2x2. Както е показано на модела на фигура регион е максималната грешка Δy.

Знаейки модел коефициенти A0 на, А1, А2. можете да предскаже точно стойността на определена функция (а оттам и на поведението на системата) в близост до точка A0 на. При определяне на стойностите на коефициентите A0, А1, А2 е целта на експеримента.

1.2. експеримент матрица

Местоположение eesperimentalnyh точки в двуизмерен фактор пространство

Да предположим, че началните параметри на процеса са: дебелина на филма от 55 микрона, времето на експозиция - 30 сек, т.е.

Обърнете горните и долните стойности на двата фактора, така че те са разположени симетрично по отношение на текущата стойност, например

Събиране таблица, в която стойностите са двата фактора във всички възможни комбинации и направи измерване на тези точки (във времето за стойности са условно):

Ако приемем, че линеен модел на процеса има формата

Въз основа на тези резултати, можете да се създаде система от четири уравнения в две променливи. По-долу е показана системата и нейното съкращение влизането в матрица. Матрицата от този тип ще се нарича експериментална матрица.

В матрицата на експеримента втората и третата колони представляват стойностите на фактори, четвъртата колона - стойностите на системната и първата колона съдържа единици, съответстващи на съотношенията на дялове на свободно a0 модел елемент. Предполагаме, че някои виртуална колона фактор x0. който винаги е на единична стойност.

1.3. система на решения

Преходът към нормализирани координати

, Прекарайте факторите нормализиране за да се улесни разтвор на системата. Горните фактори възлагат стойности нормализирани стойност от 1, по-ниски стойности - нормализирана стойност 1, средната стойност - нормализираната стойност на 0. Като цяло, коефициентът на нормализация се дава от

Като се има предвид за нормализация фактори на уравнения система, както и матрицата на експеримента ще имат следния вид:

Тъй като сумата от членовете на втората и третата колона на матрицата са равни на нула, постоянна срока на модела може да се намери чрез добавяне на всички четири уравнения:

За да намерите друг модел фактор, трябва да промените знаците в уравненията така, че някои единици са били в съответната колона и след това добавете всичките четири уравнения:

По този начин, линеен модел на процеса в близост до точка (55, 30) има формата

Като цяло, решаването на системата ще изглежда така

1.4. Назад към нестандартните фактори

Преходът от не-нормализирани да нормализират фактори reconverts

За да разберете параметрите на модела за които не са нормализирани координират, замести изразът за нормализирани Координатите в уравнението на модела:

Cravnivaya последния израз с израза за линеен модел в не-нормализирани координати

ние получаваме израз за параметрите на модела:

Например по-горе

И накрая, ние се получи модел в естествени координати:

2. Пълна факторен експеримент

2.1. матрица PPE по общ начин

Като цяло, матрицата е пълен факторен експеримент с п фактори има формата

2.2. матрица имоти PPE

матрица PPE има следните свойства:

• Броят на редовете в матрицата е равно на 2 N;
• Нула колона матрица състои от единици:

• 1. Колоните са от п 2 п възможни комбинации от стойности от 1 и 1;
• В последната колона има измерване на резултатите, получени при стойности на факторите, записани в съответните редове в колона 1. п.
• Сума нулевия колона от елементи винаги е равно на 2 п:

• Сумата на всяка колона, различна от нула, а последната е равна на нула:

• Последните два израза могат да бъдат комбинирани в един съотношение:

• Сумата от квадратите на всички елементи (с изключение на последния) колоната е винаги равно на 2 п:

• Сумата на продукти на съответните елементи на всеки две колони (с изключение на последния) е нула:

• Последните два изрази могат да бъдат записани като ортогонална матрица на колоните:

2.3. Изчисляване на коефициентите на линеен модел

Коефициентите на линеен модел в нормализирани координати са изчислени чрез формулите:

Коефициентите на линеен модел на природен (не-нормализиран) координати изчислява чрез формулите:

2.4. Преобразуване на природните фактори и нормализира назад