Редовен и semiregular polyhedra
Обобщение изпълнени: Gileva Мария, 10 клас "Б", училище 41
Правилните и полу-редовни многостени (платонични и архимедово тяло)
Редовен полихедронов се нарича изпъкнал Стол чиито лица - равни правилен многоъгълник, а ъглите между равнините на всички върхове са равни. Доказано е, че във всеки един от върховете на правилен полихедронов сближат същия брой лица и същия брой ръбове.
Всичко в природата, те са пет редовни polyhedra. В сравнение с броя на правилен многоъгълник е - много малко: за всяко число п> 2, има редовна п-гон, т.е. редовни полигони - са безкрайно много. Редовните polyhedra са именувани съгласно броя на лицата: тетраедър (четири лица): шестостен (6 лица), октаедър (осем лица), додекаедър (12 лица) и icosahedron (20 аспекти). На гръцки "Hedronn" означава лице "тетра", "хек" и т.н. - .. Броят на посочените лица. Не е трудно да се отгатне, че шестостен е нищо друго, като познатите ни куба. Лица на тетраедър, октаедъра и icosahedron - равностранен триъгълник, куба - площади, додекаедър - редовни петоъгълници.
Ако ние означаваме броя на ъгли от едно лице в рамките на редовен полихедронов на р, както и броя на лицата, които отговарят на по-връх - е р, можете да получите точните характеристики на всяка редовна полихедронов. Тук те са (първото число - Q, а вторият - п): (3, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 5), (5, 3). В този случай, куб и осмостенник, както и в icosahedron и додекаедър, броят на р и р са, както са въведени. Тези polyhedra се наричат двойно. Tetrahedron счита двойна към себе си. В двойна polyhedra същия брой ребра.
Редовен polyhedra симетрична. Това означава, че за всяка произволно избрана ръб AB и прилежащите лицата F, можете да завъртите многостен, че AB ръб преминете към всеки друг, отколкото си CD ръб точка А - в някоя от неговия край (С или D), а лицето F ще съвпадне една от двете съседни лица. Тези възможни ротации - всички самостоятелно съвпадения там 4P, където P - брой ръбове на полихедронов. Така половината от тях - завъртания около въображаемата ос свързващи многостен центъра с неговите върхове, средите на ръбове и лицата на ъгли, които са кратни на съответно два р / р, р + 2 р / р, а другата половина - симетрия по отношение на самолетите и "огледални завъртания ". Предвидени "максимална симетрия собственост" понякога се приема като определението за редовни полихедронов. Но човек далеч от математиката, че е трудно да си представим, геометрична тяло с това определение.
Йоханес Кеплер нарича куб "майка" на всички редовни polyhedra. Въз основа на куба, той е в състояние да изгради всички останали редовни polyhedra.
Ако се направи в противоположните страни на куб диагонал кос, краищата им ще бъдат върховете на тетраедър, октаедъра и на върха - е в центъра на куба. Получените полигони са наистина верни, като тяхна страна - правоъгълен триъгълник. Равенството на ъглите между равнините следва от факта, че когато включите куб ръб многостен може да бъде преведен на всеки друг.
За конструиране на icosahedron, на всяка страна на куба да се изгради сегмент х дължина (доколкото е - всякаква дължина), така че да е успоредна на двете страни на лицето и е перпендикулярна на същите сегменти на съседни лица. В средата на това трябва да съвпада с центъра на лицето. Свържете краищата на сегментите един до друг, и ще получим icosahedron чиито лица - триъгълници, и всяка от петте най-им. Ние откриваме редица х, или че всички краища на многостен са равни, т.е.. Д. Той е верен. защото кубичен симетричен, а след това всички ръбове, които не принадлежат към лицата на куба са равни. Да приемем, дължината на куба край имат. Разглеждане на триъгълника ABC (фиг. 2), където Ас = а-х, BC2 = CD2 + BD2 = 1 / 4а2 + 1 / 4x2. Чрез Питагоровата теорема получаваме: АВ2 = AC2 + СВ2 = (х2 + A2 + (а-х) 2) / 4.
Приравняването на AB х, ние получаваме квадратното уравнение: х2 + AX-а2 = 0, където х = а ( Ö 5-1) / 2. Интересното е, че получава фактора, когато, т.е., съотношението на ръба на куб с ръб icosahedron вписана там - .. Не че с изключение на златното съотношение.
Сега докаже ъглите между равнините. Да разгледаме пет ребра, като се започне от точка А. Краищата на всички от тях и на еднакво разстояние от точка А, и центъра на куба О. Това означава, че те се намират в пресечната точка на две сфери с центрове А и О, и следователно - до периферията и перки, които свързват ги с точка А, равен. Следователно, тези пет точки и точка А - правилното връх на пирамидата и неговите двустенните ъгли на върха равни.
Додекаедър на icosahedron може да се получи, както и осмостенник от куб. свързваща средата на съседните страни на icosahedron, получаваме pravilngy петоъгълна. Всички тези петоъгълници е 12. двустенните ъгли на многоъгълника ще бъдат равни, като триъгълните ъглите в своите върхове са равни плоски ъгли.
Редовни polyhedra се наричат още тела на Платон, въпреки че те са били известни от векове преди Платон. В един от диалозите си Платон свързан редовните полигони с четири елемента. Tetrahedron съответства на огъня, кубът - земята, октаедър - въздух, icosahedron - водата. Додекаедър съответства на петия елемент - етер.
Така нареченият полу-редовни polyhedra свързва с името на Архимед. Това тяло 13 се получават чрез пресичане на редовен polyhedra и две безкрайна поредица от редовни призми и antiprisms с равни перки.
В ученият Ренесанс Йоханес Кеплер след Платон се опита да се свърже редовните многостенни със структурата на Вселената. С по-голяма или по-малка точност постави между сфери, съдържащи шест известни орбита планети редовни многостени по такъв начин, че всеки е описано при около вписан в областта и по-голяма. Но името на Кеплер в геометрията на славата откриване на две от четирите редовни звездни тела. Другите две през 1809 г. установи, французинът Луи Поансо.
Фиг. 1 Редовен polyhedra
Tetrahedron куб октаедър додекаедър Icosahedron
Фигура 2 Получаване на редовни polyhedra на куба
Фиг. 3 Archimedean тяло, образувано от icosahedron
Фиг. 4 Един от звездни тела
Свързани статии